题目
某人经营一饮料店,使用A,B两种设备.令X与Y分别为A与B两设备使用的时间比例.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=} (2)/(3)(x+2y), & 0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1 0, &
某人经营一饮料店,使用A,B两种设备.令X与Y分别为A与B两设备使用的时间比例.设(X,Y)的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases} \frac{2}{3}(x+2y), & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \end{cases}$,则X的边缘概率密度$f_{x}(x)=$()
A $f_{x}(x)=\begin{cases} \frac{4}{3}(x+1), & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \end{cases}$
B $f_{x}(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x+1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \end{cases}$
C $f_{x}(x)=\begin{cases} \frac{4}{3}x+1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \end{cases}$
D $f_{x}(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}(x+1), & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \end{cases}$
题目解答
答案
为了求 $X$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$，对联合概率密度 $f(x, y)$ 关于 $y$ 积分：
$$
f_X(x) = \int_{0}^{1} f(x, y) \, dy = \int_{0}^{1} \frac{2}{3}(x + 2y) \, dy
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{1} (x + 2y) \, dy = x \int_{0}^{1} 1 \, dy + 2 \int_{0}^{1} y \, dy = x + 1
$$
因此：
$$
f_X(x) = \frac{2}{3}(x + 1), \quad 0 \leq x \leq 1
$$
其他情况 $f_X(x) = 0$。
正确答案为：
$$
\boxed{D}
$$