题目

填空题（共3题，15.0分）9.（5.0分）int_(-3)^3x^3dx=

填空题（共3题，15.0分） 9.（5.0分）$\int_{-3}^{3}x^{3}dx=$

题目解答

答案

函数 $f(x) = x^3$ 是奇函数，满足 $f(-x) = -f(x)$。根据奇函数在对称区间上的积分性质，$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$。对于本题，区间 $[-3, 3]$ 关于原点对称，因此： \[ \int_{-3}^{3} x^3 \, dx = 0 \] 或者，可以先计算原函数 $F(x) = \frac{1}{4}x^4$，然后应用牛顿-莱布尼茨公式： \[ \int_{-3}^{3} x^3 \, dx = F(3) - F(-3) = \frac{1}{4}(3^4) - \frac{1}{4}((-3)^4) = \frac{81}{4} - \frac{81}{4} = 0 \] 综上，答案为 $\boxed{0}$。

解析

本题考查定积分的计算，可利用奇函数在对称区间上的积分性质或牛顿 - 莱布尼茨公式来求解。

方法一：利用奇函数在对称区间上的积分性质

首先判断函数$f(x)=x^3$的奇偶性：
对于函数$f(x)=x^3$，其定义域为$R$，关于原点对称，且$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，所以函数$f(x)=x^3$是奇函数。
然后根据奇函数在对称区间上的积分性质：
若函数$f(x)$在关于原点对称的区间$[-a,a]$上连续且为奇函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$。
本题中$a = 3$，区间$[-3,3]$关于原点对称，所以$\int_{-3}^{3}x^3dx = 0$。

方法二：利用牛顿 - 莱布尼茨公式

先求被积函数$f(x)=x^3$的原函数$F(x)$：
根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对$F(x)=\frac{1}{4}x^4$求导，$F^\prime(x)=(\frac{1}{4}x^4)^\prime=\frac{1}{4}\times4x^3=x^3$，所以$F(x)=\frac{1}{4}x^4$是$f(x)=x^3$的一个原函数。
再根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$计算定积分：
$\int_{-3}^{3}x^3dx = F(3) - F(-3)=\frac{1}{4}\times3^4 - \frac{1}{4}\times(-3)^4=\frac{81}{4}-\frac{81}{4}=0$。