题目

1.设a_(i)(i=1,2,3)是3维列向量.若|A|=|a_(1),a_(2),a_(3)|=1.令B=(a_(1)+a_(2),a_(1)+4a_(3),3a_(2))则|B|=____.

1.设$a_{i}(i=1,2,3)$是3维列向量.若$|A|=|a_{1},a_{2},a_{3}|=1$.令$B=(a_{1}+a_{2},a_{1}+4a_{3},3a_{2})$则|B|=____.

题目解答

答案

由题意，已知 $|A| = |a_1, a_2, a_3| = 1$，矩阵 $B = (a_1 + a_2, a_1 + 4a_3, 3a_2)$。
利用行列式性质：

  1. 将 $B$ 的第三列提取公因数 3，得 $|B| = 3|a_1 + a_2, a_1 + 4a_3, a_2|$。
  2. 对第二列减去第一列，即 $c_2 \leftarrow c_2 - c_1$，得 $|B| = 3|a_1 + a_2, (a_1 + 4a_3) - (a_1 + a_2), a_2| = 3|a_1 + a_2, 4a_3 - a_2, a_2|$。
  3. 交换第二列和第三列，得 $|B| = -3|a_1 + a_2, a_2, 4a_3 - a_2|$。
  4. 对第一列减去第二列，即 $c_1 \leftarrow c_1 - c_2$，得 $|B| = -3|a_1, a_2, 4a_3 - a_2|$。
  5. 对第三列加上第二列的 1 倍，即 $c_3 \leftarrow c_3 + c_2$，得 $|B| = -3|a_1, a_2, 4a_3|$。
  6. 提取第三列的公因数 4，得 $|B| = -12|a_1, a_2, a_3|$。
  7. 由已知 $|a_1, a_2, a_3| = 1$，故 $|B| = -12 \times 1 = -12$。

答案： $-12$