填空题（共4题，20.0分） 12.（5.0分） int (2x+3)dx=____。

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用不定积分的基本性质和基本积分公式来求解。

方法一：利用不定积分的加法性质

根据不定积分的加法性质$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，对于$\int (2x + 3)dx$，可将其拆分为$\int 2xdx+\int 3dx$。

• 计算$\int 2xdx$：
  根据不定积分的常数倍数性质$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（$k$为常数），可得$\int 2xdx = 2\int xdx$。
  再根据基本积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），当$n = 1$时，$\int xdx=\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}+C=\frac{x^2}{2}+C$，所以$2\int xdx = 2\times\frac{x^2}{2}+C=x^2+C_1$（$C_1$为常数）。
• 计算$\int 3dx$：
  同样根据不定积分的常数倍数性质，$\int 3dx = 3\int 1dx$。
  因为$\int 1dx=\int x^0dx=\frac{x^{0 + 1}}{0 + 1}+C=x+C$，所以$3\int 1dx = 3x+C_2$（$C_2$为常数）。
• 合并结果：
  $\int (2x + 3)dx=\int 2xdx+\int 3dx=x^2+C_1+3x+C_2$，令$C = C_1 + C_2$（$C$为常数），则$\int (2x + 3)dx=x^2 + 3x + C$。

方法二：换元法

令$u = 2x + 3$，对$u$求导，根据求导公式$(ax+b)^\prime=a$，可得$du = 2dx$，即$dx=\frac{1}{2}du$。
将$u = 2x + 3$和$dx=\frac{1}{2}du$代入$\int (2x + 3)dx$中，得到$\int u\cdot\frac{1}{2}du$。
根据不定积分的常数倍数性质，$\int u\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int udu$。
再根据基本积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），当$n = 1$时，$\int udu=\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}+C=\frac{u^2}{2}+C$，所以$\frac{1}{2}\int udu=\frac{1}{2}\times\frac{u^2}{2}+C=\frac{u^2}{4}+C$。
将$u = 2x + 3$代回$\frac{u^2}{4}+C$中，得到$\frac{(2x + 3)^2}{4}+C$。
对$\frac{(2x + 3)^2}{4}+C$进行展开：
$\begin{align*}\frac{(2x + 3)^2}{4}+C&=\frac{4x^2+12x + 9}{4}+C\\&=x^2 + 3x+\frac{9}{4}+C\end{align*}$
令$C' = C+\frac{9}{4}$（$C'$为常数），则$\frac{(2x + 3)^2}{4}+C=x^2 + 3x + C'$。
两种方法结果等价。