设函数f(x),g(x)在x=0的某去心邻域内有定义且不为零，若当xarrow 0时,f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当xarrow 0时，对于以下结论：① f(x)+g(x)=o(f(x))；② f(x)g(x)=o(g^2(x))；③ f(x)=o(ln[1+g(x)])；④ f(x)=o(g^2(x))。A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.

本题考查高阶无穷小的定义及相关性质，解题的关键在于根据高阶无穷小的定义$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$（其中$\alpha(x)$是$\beta(x)$在$x \to x_0$时的高阶无穷小），对每个结论逐一进行分析判断。

结论①判断

已知当$x\rightarrow 0$时，$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小，根据高阶无穷小的定义可得$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$。
要判断$f(x)+g(x)=o(f(x))$是否成立，需计算$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)+g(x)}{f(x)}$，根据极限的运算法则：
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)+g(x)}{f(x)}=\lim\limits_{x \to 0}(1 + \frac{g(x)}{f(x)})$
因为$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，所以$\lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x)}{f(x)} = \infty$，则$\lim\limits_{x \to 0}(1 + \frac{g(x)}{f(x)})=\infty\neq 0$，所以$f(x)+g(x)\neq o(f(x))$，结论①错误。

结论②判断

要判断$f(x)g(x)=o(g^2(x))$是否成立，需计算$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)g(x)}{g^2(x)}$，化简可得：
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)g(x)}{g^2(x)}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$
已知$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，所以$f(x)g(x)=o(g^2(x))$，结论②正确。

结论③判断

当$x \to 0$时，$\ln(1 + x)\sim x$，所以当$x \to 0$时，$\ln[1 + g(x)]\sim g(x)$。
要判断$f(x)=o(\ln[1+g(x)])$是否成立，需计算$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{\ln[1 + g(x)]}$，因为$\ln[1 + g(x)]\sim g(x)$，所以$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{\ln[1 + g(x)]}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，所以$f(x)=o(\ln[1+g(x)])$，结论③正确。

结论④判断

要判断$f(x)=o(g^2(x))$是否成立，需计算$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g^2(x)}$，可将其变形为$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{1}{g(x)}$。
已知$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，但$\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{g(x)}$不一定存在，所以不能得出$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g^2(x)} = 0$，即$f(x)$不一定是$g^2(x)$的高阶无穷小，结论④错误。

综上，正确的结论有②③，共$2$个。