2.如图,四棱锥 P-ABCD 中, bot 平面ABCD, bot AD ykparallel CD, PD=AB=-|||-=2CD=2, E为PB的中点.-|||-(1)证明:平面 bot 平面P BC;-|||-(2)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.-|||-P-|||-E-|||-B-|||-∠-|||-D C

步骤 1：证明平面 $EAC\bot $ 平面PBC
- 由于 $PC\bot $ 平面ABCD，所以 $PC\bot AC$。
- 由题意知 $AB=2AD=CD=1$，且 $AD\bot AB$，$AB\ykparallel CD$，所以 $AD\bot CD$。
- 由此可得 $AC=BC=\sqrt{2}$，且 $AC^2 + BC^2 = AB^2$，所以 $AC\bot BC$。
- 由于 $BC\cap PC=C$，且 $BC, PC\subset $ 平面PBC，所以 $AC\bot $ 平面PBC。
- 因为 $AC\subset $ 平面ACE，所以平面 $ACE\bot $ 平面PBC。

步骤 2：求直线PD与平面AEC所成角的正弦值
- 由于 $PC\bot $ 平面ABCD，所以 $PC\bot CD$。
- 由题意知 $PD=2$，所以 $PC=\sqrt{3}$。
- 在平面PCB内，过点P作 $PH\bot CE$，垂足为H。
- 由步骤1知平面 $ACE\bot $ 平面PBC，所以 $PH\bot $ 平面ACE。
- 由于点E为PB的中点，所以 $CE=\frac{1}{2}PB=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
- 由等面积法得 $CE\cdot PH=\frac{1}{2}PC\cdot BC$，所以 $PH=\frac{\sqrt{30}}{5}$。
- 由于点E为PB的中点，所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等。
- 连接BD交AC于点G，则 $GB=2DG$，所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半，即 $\frac{1}{2}PH$。
- 所以直线PD与平面AEC所成角的正弦值为 $\frac{\frac{1}{2}PH}{PD}=\frac{\sqrt{30}}{20}$。