题目
将函数 (x)=dfrac (1)({x)^2+3x+2} 展开成 ( x + 4 ) 的幂级数
将函数 
展开成 ( x + 4 ) 的幂级数
题目解答
答案
解：函数
∵级数
∴原式
∴展开成 ( x + 4 ) 的幂级数为
解析
步骤 1：分解函数
将函数 $f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+3x+2}$ 分解为部分分式。
$f(x)=\dfrac {1}{(x+1)(x+2)}$
$=\dfrac {1}{x+1}-\dfrac {1}{x+2}$
步骤 2：转换为幂级数形式
将每个部分分式转换为以 (x+4) 为变量的幂级数形式。
$=\dfrac {1}{-3+(x+4)}-\dfrac {1}{-2+(x+4)}$
$=-\dfrac {1}{3}\dfrac {1}{1-\dfrac {x+4}{3}}-\dfrac {1}{2}\dfrac {1}{1-\dfrac {x+4}{2}}$
步骤 3：应用几何级数公式
应用几何级数公式 $\sum _{n=0}^{\infty }x^n=\dfrac {1}{1-x}$，将每个部分分式展开为幂级数。
$=-\dfrac {1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{3})}^{n}-\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{2})}^{n}$
$=\sum _{n=0}^{\infty }(\dfrac {1}{{2}^{n+1}}-\dfrac {1}{{3}^{n+1}}){(x+4)}^{n}$
将函数 $f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+3x+2}$ 分解为部分分式。
$f(x)=\dfrac {1}{(x+1)(x+2)}$
$=\dfrac {1}{x+1}-\dfrac {1}{x+2}$
步骤 2：转换为幂级数形式
将每个部分分式转换为以 (x+4) 为变量的幂级数形式。
$=\dfrac {1}{-3+(x+4)}-\dfrac {1}{-2+(x+4)}$
$=-\dfrac {1}{3}\dfrac {1}{1-\dfrac {x+4}{3}}-\dfrac {1}{2}\dfrac {1}{1-\dfrac {x+4}{2}}$
步骤 3：应用几何级数公式
应用几何级数公式 $\sum _{n=0}^{\infty }x^n=\dfrac {1}{1-x}$，将每个部分分式展开为幂级数。
$=-\dfrac {1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{3})}^{n}-\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+4}{2})}^{n}$
$=\sum _{n=0}^{\infty }(\dfrac {1}{{2}^{n+1}}-\dfrac {1}{{3}^{n+1}}){(x+4)}^{n}$