设 z = x^y + (y)/(x)，则 dz = ( ).A. yx^y-1dx + (x^y ln x + (1)/(x))dyB. (yx^y-1 - (y)/(x^2))dx + (x^y ln x + (1)/(x))dyC. (yx^y-1 - (y)/(x^2))dx + (x^y ln x)dyD. (yx^y-1 + (y)/(x^2))dx + (x^y ln x + (1)/(x))dy

本题考查多元函数全微分的计算。解题思路是先分别求出函数$z = x^y + \frac{y}{x}$对$x$和$y$的偏导数，再根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$计算$dz$。

步骤一：求$\frac{\partial z}{\partial x}$

将$y$看作常数，对$z = x^y + \frac{y}{x}$求关于$x$的偏导数。

• 对于$x^y$，根据幂函数求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n=y$，可得$(x^y)^\prime_y=yx^{y - 1}$。
• 对于$\frac{y}{x}=yx^{-1}$，根据幂函数求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n=-1$，可得$(yx^{-1})^\prime_y=-yx^{-2}=-\frac{y}{x^2}$。
  所以$\frac{\partial z}{\partial x}=yx^{y - 1}-\frac{y}{x^2}$。

步骤二：求$\frac{\partial z}{\partial y}$

将$x$看作常数，对$z = x^y + \frac{y}{x}$求关于$y$的偏导数。

• 对于$x^y$，根据指数函数求导公式$(a^x)^\prime=a^x\ln a$，这里$a = x$，可得$(x^y)^\prime_x=x^y\ln x$。
• 对于$\frac{y}{x}$，$x$为常数，根据求导公式$(ky)^\prime=k$（$k$为常数），可得$(\frac{y}{x})^\prime_x=\frac{1}{x}$。
  所以$\frac{\partial z}{\partial y}=x^y\ln x+\frac{1}{x}$。

步骤三：计算$dz$

根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将$\frac{\partial z}{\partial x}=yx^{y - 1}-\frac{y}{x^2}$和$\frac{\partial z}{\partial y}=x^y\ln x+\frac{1}{x}$代入可得：
$dz=\left(yx^{y - 1}-\frac{y}{x^2}\right)dx+\left(x^y\ln x+\frac{1}{x}\right)dy$