5、曲面z=x^2+y^2在点(1,2,5)处的切平面方程是 ( )A. 2x+4y-z-5=0B. 2x+4y-z+5=0C. 2x-4y-z-5=0D. 2x+4y+z-5=0

本题考查曲面的切平面方程的求解，解题思路是先求出曲面方程的法向量，再利用点法式方程来确定切平面方程。

步骤一：设函数并求偏导数

设$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z$，则曲面$z = x^{2} + y^{2}$是函数$F(x,y,z)=0$所表示的曲面。
根据求偏导数的公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：

• 对$x$求偏导数：$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=2x$。
• 对$y$求偏导数：$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=2y$。
• 对$z$求偏导数：$F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。

步骤二：求在点$(1,2,5)$处的法向量

将点$(1,2,5)$代入上面所求的偏导数中，得到法向量的坐标：

• $F_{x}(1,2,5)=2\times1 = 2$。
• $F_{y}(1,2,5)=2\times2 = 4$。
• $F_{z}(1,2,5)= -1$。
  所以，曲面在点$(1,2,5)$处的法向量$\vec{n}=(2,4,-1)$。

步骤三：根据点法式方程求切平面方程

点法式方程的一般形式为$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$是平面上的一点，$(A,B,C)$是该平面的法向量。
已知点$(1,2,5)$在切平面上，法向量$\vec{n}=(2,4,-1)$，将其代入点法式方程可得：
$2(x - 1) + 4(y - 2) - (z - 5) = 0$
展开括号得：$2x - 2 + 4y - 8 - z + 5 = 0$
整理得：$2x + 4y - z - 5 = 0$