1.求下列函数的Fourier积分表达式：(1)f(t)=}1-t^2,&|t|<1,0,&|t|geq1.

考查要点：本题主要考查傅里叶积分的计算，特别是对分段函数的处理以及分部积分法的应用。

解题核心思路：

1. 识别函数性质：给定函数$f(t)$是偶函数，且在区间$|t| \geq 1$时为0，因此只需计算余弦项的傅里叶系数$A(\omega)$。
2. 简化积分区间：利用偶函数性质，将原积分区间$(-\infty, \infty)$转化为$2\int_{0}^{1}$。
3. 分部积分法：对积分$\int_{0}^{1} (1 - x^2)\cos(\omega x) \, dx$进行两次分部积分，逐步消去多项式项，最终得到关于$\sin(\omega)$和$\cos(\omega)$的表达式。

破题关键点：

• 偶函数性质：简化计算，避免冗余计算。
• 分部积分技巧：正确选择分部积分的$u$和$dv$，逐步降低多项式次数。

步骤1：确定傅里叶积分形式

由于$f(t)$是偶函数，其傅里叶积分表达式为：
$f(t) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} A(\omega) \cos(\omega t) \, d\omega,$
其中$A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos(\omega x) \, dx$。

步骤2：计算傅里叶系数$A(\omega)$

利用偶函数性质，积分区间简化为：
$A(\omega) = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2)\cos(\omega x) \, dx.$

步骤3：分部积分计算

对$\int_{0}^{1} (1 - x^2)\cos(\omega x) \, dx$进行分部积分：

1. 第一次分部积分：

   • 设$u = 1 - x^2$，$dv = \cos(\omega x) \, dx$，则$du = -2x \, dx$，$v = \frac{1}{\omega}\sin(\omega x)$。
   • 积分结果为：
     $\left. \frac{(1 - x^2)}{\omega}\sin(\omega x) \right|_{0}^{1} + \frac{2}{\omega} \int_{0}^{1} x \sin(\omega x) \, dx.$
   • 边界项为0，剩余部分为$\frac{2}{\omega} \int_{0}^{1} x \sin(\omega x) \, dx$。

2. 第二次分部积分：

   • 设$u = x$，$dv = \sin(\omega x) \, dx$，则$du = dx$，$v = -\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)$。
   • 积分结果为：
     $-\frac{x}{\omega^2}\cos(\omega x) \bigg|_{0}^{1} + \frac{1}{\omega^2} \int_{0}^{1} \cos(\omega x) \, dx.$
   • 计算得：
     $-\frac{1}{\omega^2}\cos(\omega) + \frac{1}{\omega^3}\sin(\omega).$

3. 综合结果：
   $\int_{0}^{1} (1 - x^2)\cos(\omega x) \, dx = \frac{2}{\omega^3}\sin(\omega) - \frac{2}{\omega^2}\cos(\omega).$

步骤4：代入傅里叶积分表达式

最终傅里叶积分表达式为：
$f(t) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{4}{\omega^3}\sin(\omega) - \frac{4}{\omega^2}\cos(\omega) \right)\cos(\omega t) \, d\omega.$