题目
18. (10.0分) 求 过 点 (-2,0,1) 且 与 平 面 3x+4y-z+6=0 平 行 ，又 与 直 线 (x-3)/(1)=(y+2)/(4)=(z)/(1) 垂直的直线方程.
18. (10.0分) 求 过 点 (-2,0,1) 且 与 平 面 3x+4y-z+6=0 平 行 ，又 与 直 线 $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$ 垂直的直线方程.
题目解答
答案
为了求过点 $(-2,0,1)$ 且与平面 $3x + 4y - z + 6 = 0$ 平行，又与直线 $\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$ 垂直的直线方程，我们需要按照以下步骤进行：
1. **确定平面的法向量：**
平面 $3x + 4y - z + 6 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (3, 4, -1)$。
2. **确定直线的方向向量：**
直线 $\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$ 的方向向量为 $\mathbf{d} = (1, 4, 1)$。
3. **确定所求直线的方向向量：**
所求直线与平面平行，因此其方向向量与平面的法向量垂直。同时，所求直线与已知直线垂直，因此其方向向量与已知直线的方向向量垂直。因此，所求直线的方向向量是平面的法向量与已知直线的方向向量的叉积。
\[
\mathbf{v} = \mathbf{n} \times \mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 1 - (-1) \cdot 4) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) = \mathbf{i}(4 + 4) - \mathbf{j}(3 + 1) + \mathbf{k}(12 - 4) = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (8, -4, 8)
\]
我们可以简化这个方向向量，除以4，得到 $\mathbf{v} = (2, -1, 2)$。
4. **写出直线的方程：**
所求直线过点 $(-2, 0, 1)$ 且方向向量为 $(2, -1, 2)$。因此，直线的参数方程为：
\[
\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 0}{-1} = \frac{z - 1}{2}
\]
简化后得到：
\[
\frac{x + 2}{2} = -y = \frac{z - 1}{2}
\]
所以，所求直线的方程为 $\boxed{\frac{x+2}{2} = -y = \frac{z-1}{2}}$。
解析
本题考查空间直线方程的求解，关键在于根据直线与平面平行、直线与直线垂直的性质确定所求直线的方向向量，再结合直线所过的点写出直线方程。
- 确定平面的法向量：
对于平面方程$Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为$\vec{n}=(A,B,C)$。
已知平面方程为$3x + 4y - z + 6 = 0$，所以该平面的法向量$\vec{n}=(3,4,-1)$。 - 确定已知直线的方向向量：
对于直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$，其方向向量为$\vec{d}=(m,n,p)$。
已知直线方程为$\frac{x - 3}{1}=\frac{y + 2}{4}=\frac{z}{1}$，所以该直线的方向向量$\vec{d}=(1,4,1)$。 - 确定所求直线的方向向量：
因为所求直线与平面$3x + 4y - z + 6 = 0$平行，所以所求直线的方向向量$\vec{v}$与平面的法向量$\vec{n}$垂直；又因为所求直线与直线$\frac{x - 3}{1}=\frac{y + 2}{4}=\frac{z}{1}$垂直，所以所求直线的方向向量$\vec{v}$与已知直线的方向向量$\vec{d}$垂直。
根据向量叉乘的性质，若两个向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则它们的叉积\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}=\vec{i}(y_1z_2 - y_2z_1)-\vec{j}(x_1z_2 - x_2z_1)+\vec{k}(x_1y_2 - x_2y_1)\)。
所以\(\vec{v}=\vec{n}\times\vec{d}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 3 & 4 & -1\\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}\)
$=\vec{i}(4\times1 - (-1)\times4)-\vec{j}(3\times1 - (-1)\times1)+\vec{k}(3\times4 - 4\times1)$
$=\vec{i}(4 + 4)-\vec{j}(3 + 1)+\vec{k}(12 - 4)$
$=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}=(8,-4,8)$。
为了简化计算，可将方向向量$\vec{v}$除以$4$，得到$\vec{v}=(2,-1,2)$。 - 写出所求直线的方程：
已知所求直线过点$(-2,0,1)$，方向向量为$(2,-1,2)$，根据直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），可得所求直线方程为$\frac{x + 2}{2}=\frac{y - 0}{-1}=\frac{z - 1}{2}$，即$\frac{x + 2}{2}=-y=\frac{z - 1}{2}$。