已知区域D为：x^2+y^2leq1,xgeq0,ygeq0, 则二重积分iintlimits_(D)xydsigma=（）A. (1)/(8).B. (1)/(4).C. (1)/(2).D. (9)/(8).

本题考查利用极坐标计算二重积分的知识。解题思路是先将直角坐标下的二重积分转化为极坐标下的二重积分，然后确定积分限，最后进行积分计算。

1. 将直角坐标转化为极坐标：
   在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且$d\sigma=rdrd\theta$。
   已知区域$D$为$x^{2}+y^{2}\leq1$，$x\geq0$，$y\geq0$，在极坐标下，$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，所以$r^{2}\leq1$，即$0\leq r\leq1$；又因为$x\geq0$，$y\geq0$，所以$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$。
   此时被积函数$xy=(r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta$。
   那么原二重积分$\iint\limits_{D}xyd\sigma$就转化为极坐标下的二重积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot rdr$。
2. 计算积分：
   • 先对$r$积分：
     $\int_{0}^{1}r^{2}\cdot rdr=\int_{0}^{1}r^{3}dr$
     根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{0}^{1}r^{3}dr=\left[\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}(1^{4}-0^{4})=\frac{1}{4}$。
   • 再对$\theta$积分：
     此时积分变为$\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta d\theta$。
     令$t=\sin\theta$，则$dt=\cos\theta d\theta$。
     当$\theta = 0$时，$t=\sin0 = 0$；当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$t=\sin\frac{\pi}{2}=1$。
     那么$\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta d\theta=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}t dt$。
     根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得$\frac{1}{4}\int_{0}^{1}t dt=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}t^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}(1^{2}-0^{2})=\frac{1}{8}$。