5.山东(2025·21)设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：存在ξ∈(0,1)，使得int_(0)^1f(x)dx=f(0)+f^prime(xi)(1-xi).

本题考查罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的应用，解题的关键在于构造合适的辅助函数，然后利用中值定理来证明等式。

错误方法分析

原答案中定义函数 $G(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt - f(0)x$，对其求导得 $G'(x) = f(x) - f(0)$。
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $G(1) = G'( \xi )(1 - 0)=f(\xi) - f(0)$。
又因为 $G(1) = \int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$，所以得到 $\int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0) = f(\xi) - f(0)$，此式不直接符合题意，原因是构造的函数 $G(x)$ 无法直接推导出目标等式。

正确方法

1. 构造辅助函数：
   考虑函数 $H(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt - f(0)x - k(1 - x)$，其中 $k = \int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$。
2. 验证函数满足罗尔中值定理条件：
   • 因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，所以 $\int_{0}^{x} f(t) \, dt$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)x$ 和 $k(1 - x)$ 也在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，那么 $H(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。
   • 计算 $H(0)$ 和 $H(1)$：
     • $H(0)=\int_{0}^{0} f(t) \, dt - f(0)\times0 - k(1 - 0)=0 - 0 - k=-k$。
     • $H(1)=\int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)\times1 - k(1 - 1)=\int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$，又因为 $k = \int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$，所以 $H(1)=k - k = 0$。
     • 即 $H(0)=H(1)$。
3. 应用罗尔中值定理：
   由罗尔中值定理可知，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $H'(\xi) = 0$。
   对 $H(x)$ 求导：
   $H'(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \, dt - f(0)x - k(1 - x)\right)'$
   根据求导公式 $(\int_{0}^{x} f(t) \, dt)' = f(x)$，$(x^n)'=nx^{n - 1}$，可得 $H'(x)=f(x) - f(0)+k$。
   所以 $H'(\xi)=f(\xi) - f(0)+k = 0$，移项解得 $k = f(0) - f(\xi)$。
4. 推导目标等式：
   因为 $k = \int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)$，且 $k = f(0) - f(\xi)$，所以 $\int_{0}^{1} f(t) \, dt - f(0)=f(0) - f(\xi)$，移项可得 $\int_{0}^{1} f(t) \, dt = 2f(0) - f(\xi)$。
   又因为 $f(x)$ 在 $[0,\xi]$ 上满足拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $f(\xi)-f(0)=f'(\xi)(\xi - 0)$，即 $f(\xi)=f(0)+f'(\xi)\xi$。
   将 $f(\xi)=f(0)+f'(\xi)\xi$ 代入 $\int_{0}^{1} f(t) \, dt = 2f(0) - f(\xi)$ 中：
   $\begin{align*}\int_{0}^{1} f(t) \, dt&=2f(0)-(f(0)+f'(\xi)\xi)\\&=f(0)+f'(\xi)(1 - \xi)\end{align*}$