20. (5.0分) 已知S(x)=sum_(n=1)^inftya_(n)x^n，则S(x)连续的x最大范围( )A. 以上都不对B. 收敛域C. 收敛区间D. (-infty,+infty)

本题考查幂级数的连续性以及收敛域、收敛区间的相关知识。解题的关键在于理解幂级数在不同区间的性质，以及收敛域和收敛区间的概念，通过分析幂级数的连续性与这些概念之间的关系来确定答案。

1. 明确相关概念

• 收敛区间：对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$，通过求其收敛半径$R$（可使用比值判别法$\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{R}$），得到收敛区间为$(-R, R)$。在收敛区间内，幂级数绝对收敛，但在区间端点处的敛散性需要单独判断。
• 收敛域：是在收敛区间的基础上，考虑区间端点处幂级数的敛散性后得到的使幂级数收敛的所有$x$的取值集合。
• 幂级数的连续性：幂级数$S(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$在其收敛域内是连续的。这是因为幂级数在收敛域内是一致收敛的（阿贝尔定理：若幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$在$x = x_0$（$x_0\neq0$）处收敛，则对于满足$\vert x\vert\lt\vert x_0\vert$的一切$x$，幂级数绝对收敛；并且幂级数在其收敛区间内闭一致收敛），而一致收敛的函数项级数的和函数是连续的。

2. 分析各选项

• 选项A：由于选项B是正确的，所以选项A错误。
• 选项B：根据幂级数的连续性性质，$S(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$在其收敛域内连续，所以该选项正确。
• 选项C：收敛区间只是一个开区间，没有考虑端点处的情况，而幂级数在收敛区间的端点处可能不连续，所以不能说$S(x)$连续的$x$最大范围是收敛区间，该选项错误。
• 选项D：并不是所有的幂级数都在$(-\infty, +\infty)$上收敛，只有当收敛半径$R = +\infty$时，幂级数才在$(-\infty, +\infty)$上收敛，一般情况下幂级数的收敛范围是有限的，所以该选项错误。