题目
填空题（共5题，15.0分） 13.（3.0分） 已知lim_(xto0)(sin ax)/(2x)=2，则常数a=____。
填空题（共5题，15.0分） 13.（3.0分） 已知$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{2x}=2$，则常数a=____。
题目解答
答案
利用等价无穷小性质，当 $x \to 0$ 时，$\sin ax \sim ax$，代入原式得： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{ax}{2x} = \frac{a}{2}$ 由题意知 $\frac{a}{2} = 2$，解得 $a = 4$。 答案： $\boxed{4}$
解析
本题考查等价无穷小的性质以及极限的计算。解题思路是利用当$x \to 0$时，$\sin t\sim t$（这里$t = ax$）这一等价无穷小替换，将原式进行化简，然后根据已知极限值求出常数$a$。
- 利用等价无穷小替换：
- 当$x \to 0$时，$ax \to 0$，根据等价无穷小的性质，$\sin ax\sim ax$。
- 所以$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{ax}{2x}$。
- 化简极限式子：
- 对$\lim_{x\to0}\frac{ax}{2x}$进行化简，因为$x\to0$但$x\neq0$，所以可以约去分子分母中的$x$，得到$\lim_{x\to0}\frac{ax}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{a}{2}$。
- 而常数的极限就是其本身，所以$\lim_{x\to0}\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$。
- 求解常数$a$：
- 已知$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{2x}=2$，又因为$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{2x}=\frac{a}{2}$，所以$\frac{a}{2}=2$。
- 等式两边同时乘以$2$，可得$a = 2\times2 = 4$。