题目

设离散型随机变量X服从分布律P X=k =dfrac (C)(k!)(e)^-2，k=0，1，2，···则常数C必为( )A、1B、eC、(e)^-1D、(e)^-2

设离散型随机变量$X$服从分布律$P\{ X=k\} =\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$，$k=0$，$1$，$2$，···则常数$C$必为(   )

$A、1$

$B、e$

$C、{e}^{-1}$

$D、{e}^{-2}$

题目解答

答案

解析

本题考查离散型随机变量分布律的性质以及指数函数的幂级数展开式。解题的关键思路是利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$这一性质，结合指数函数的幂级数展开公式来求解常数$C$。

  1. 根据离散型随机变量分布律的性质可知，对于离散型随机变量$X$，有$\sum_{k = 0}^{\infty}P\{X = k\} = 1$。
    已知$P\{X = k\} = \frac{C}{k!}e^{-2}$，$k = 0, 1, 2, \cdots$，将其代入上述性质可得：
    $\sum_{k = 0}^{\infty}P\{X = k\} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{C}{k!}e^{-2}$
  2. 对$\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{C}{k!}e^{-2}$进行化简：
    因为$C$和$e^{-2}$与$k$无关，所以可以将它们提到求和符号外面，即$\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{C}{k!}e^{-2} = Ce^{-2}\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!}$。
  3. 利用指数函数的幂级数展开式$e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$，$-\infty < x < +\infty$。
    当$x = 1$时，$e^{1} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!}$，即$\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e$。
  4. 将$\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e$代入$Ce^{-2}\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!}$可得：
    $Ce^{-2}\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!} = Ce^{-2} \cdot e = Ce^{-1}$
  5. 由$\sum_{k = 0}^{\infty}P\{X = k\} = 1$，即$Ce^{-1} = 1$，求解$C$：
    等式两边同时乘以$e$，可得$C = e$。