求极限 lim _(x arrow +infty)(x+e^x)^(1)/(x).
求极限 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\left(x+e^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
题目解答
答案
我们要求极限：
$\lim_{x \to +\infty} \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}}$
第一步：分析极限形式
当 $ x \to +\infty $ 时：
- $ e^x $ 的增长速度远远超过 $ x $，所以 $ x + e^x \sim e^x $，即主要部分是 $ e^x $。
- 因此，底数 $ x + e^x $ 趋向于无穷大，指数 $ \frac{1}{x} $ 趋向于 0。
所以这是一个 $ \infty^0 $ 型的不定式，需要用对数方法处理。
第二步：取对数转化
令：
$y = \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}}$
取自然对数：
$\ln y = \ln \left( \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} \ln(x + e^x)$
我们先求：
$\lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + e^x)}{x}$
第三步：估计 $ \ln(x + e^x) $
由于 $ e^x $ 远大于 $ x $，当 $ x \to +\infty $ 时，有：
$x + e^x = e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$
而 $ \frac{x}{e^x} \to 0 $（因为指数增长快于线性），所以：
$\ln(x + e^x) = \ln\left(e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)\right) = \ln(e^x) + \ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right) = x + \ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$
由于 $ \frac{x}{e^x} \to 0 $，利用 $ \ln(1 + u) \sim u $ 当 $ u \to 0 $，有：
$\ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right) \sim \frac{x}{e^x} \to 0$
因此：
$\ln(x + e^x) = x + o(1)$
代入原式：
$\frac{\ln(x + e^x)}{x} = \frac{x + o(1)}{x} = 1 + \frac{o(1)}{x} \to 1 \quad (x \to +\infty)$
第四步：还原极限
我们得到：
$\lim_{x \to +\infty} \ln y = 1$
因此：
$\lim_{x \to +\infty} y = e^1 = e$
最终答案：
$\boxed{e}$
解析
本题考查的是 $\infty^0$ 型不定式极限的求解，解题思路是先判断极限的类型，对于 $\infty^0$ 型不定式，采用取对数的方法将其转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，再利用等价无穷小等方法进行化简计算，最后根据对数函数的性质还原出原极限的值。
- 判断极限类型：
当 $x \to +\infty$ 时，$e^x$ 的增长速度远远超过 $x$，所以 $x + e^x$ 中主要部分是 $e^x$，即 $x + e^x \to +\infty$，而指数 $\frac{1}{x} \to 0$，因此 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\left(x+e^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ 是 $\infty^0$ 型不定式。 - 取对数转化：
令 $y = \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}}$，对其两边取自然对数可得 $\ln y = \ln \left( \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}} \right)$。
根据对数运算法则 $\ln a^b = b\ln a$，则 $\ln y = \frac{1}{x} \ln(x + e^x)$。
此时求 $\lim _{x \rightarrow +\infty}y$ 可先求 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\ln y$，即 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln(x + e^x)}{x}$，此式为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式。 - 化简 $\ln(x + e^x)$：
将 $x + e^x$ 变形为 $e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$，则 $\ln(x + e^x) = \ln\left(e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)\right)$。
根据对数运算法则 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$，可得 $\ln(x + e^x) = \ln(e^x) + \ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$。
因为 $\ln(e^x)=x$，且当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{x}{e^x} \to 0$（指数函数增长速度远快于一次函数）。
根据等价无穷小，当 $u \to 0$ 时，$\ln(1 + u) \sim u$，所以当 $\frac{x}{e^x} \to 0$ 时，$\ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right) \sim \frac{x}{e^x}$，即 $\ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$ 是比 $1$ 高阶的无穷小，可记为 $o(1)$。
因此，$\ln(x + e^x) = x + o(1)$。 - 计算 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln(x + e^x)}{x}$：
将 $\ln(x + e^x) = x + o(1)$ 代入 $\frac{\ln(x + e^x)}{x}$ 可得：
$\frac{\ln(x + e^x)}{x} = \frac{x + o(1)}{x} = 1 + \frac{o(1)}{x}$。
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{o(1)}{x} \to 0$，所以 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{\ln(x + e^x)}{x} = \lim _{x \rightarrow +\infty}\left(1 + \frac{o(1)}{x}\right)=1$。 - 还原原极限：
因为 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\ln y = 1$，而 $y = e^{\ln y}$，根据指数函数的连续性，$\lim _{x \rightarrow +\infty}y = \lim _{x \rightarrow +\infty}e^{\ln y}=e^{\lim _{x \rightarrow +\infty}\ln y}=e^1 = e$。