题目

4【判断题】(x,y)|(x^2)/(2)+(y^2)/(3)leq1.是开区域.A 对B 错

4【判断题】 $\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$是开区域. A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断集合 $\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$ 是否是开区域，我们需要理解开区域的定义。一个集合是开区域，如果它不包含其边界上的任何点。相反，如果一个集合包含其边界上的所有点，那么它是一个闭区域。 给定的集合是 $\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$。这个不等式描述了一个椭圆及其内部。椭圆的边界由方程 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 给出。集合 $\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$ 包括椭圆的边界，这意味着它是一个闭区域。 因此，集合 $\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$ 不是开区域。 答案是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查开区域和闭区域的定义及判断。解题的关键在于明确开区域和闭区域的区别，然后根据给定集合的特征判断其属于哪种区域。

  • 开区域的定义：一个集合是开区域，如果它不包含其边界上的任何点。
  • 闭区域的定义：一个集合是闭区域，如果它包含其边界上的所有点。
    对于给定的集合$\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$，我们分析其边界情况：
    • 方程$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$表示一个椭圆，这就是集合$\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$的边界。
    • 由于集合中的不等式是$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1$，这意味着集合包含了椭圆边界上的所有点（当$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$时）以及椭圆内部的所有点（当$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}<1$时）。
    • 根据闭区域的定义，包含边界的集合是闭区域，所以集合$\left\{(x,y)\left|\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\leq1\right.\right\}$是闭区域，而不是开区域。