lim _(narrow infty )(dfrac (1)(sqrt {{n)^2+(1)^2}}+dfrac (1)(sqrt {{n)^2+(2)^2}}+... +dfrac (1)(sqrt {{n)^2+(n)^2}})= )=______.

考查要点：本题主要考查将数列极限转化为定积分的能力，以及对积分计算的掌握。

解题核心思路：观察到和式中的每一项形式为$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}$，通过提取公因子$n$，将其转化为$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (k/n)^2}}$，进而识别出这是函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$在区间$[0,1]$上的Riemann和，从而利用定积分的定义求解极限。

破题关键点：

1. 提取公因子：将分母中的$n^2$提出，转化为与$x = \frac{k}{n}$相关的表达式。
2. 识别积分形式：确认和式结构符合$\sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x$的形式，其中$\Delta x = \frac{1}{n}$。
3. 计算定积分：正确计算$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$的值。

将和式中的每一项变形：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \frac{1}{n \sqrt{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2}}.$

此时，原和式可表示为：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2}}.$

关键步骤：

1. 关联定积分定义：当$n \to \infty$时，$\frac{k}{n}$在区间$[0,1]$上均匀分布，$\frac{1}{n}$对应小区间长度$\Delta x$。因此，和式趋近于积分：
   $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx.$
2. 计算积分：积分$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$的原函数为$\ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$，因此：
   $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \ln(1 + \sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(1 + \sqrt{2}).$