题目

利用格林公式,计算下列曲线积分:-|||-(1)(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy, 其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)-|||-和(3,2)的三角形正向边界;

题目解答

答案

解析

本题考查格林公式的应用。格林公式是将平面上沿闭曲线$L$的曲线积分与曲线所围区域$D$上的二重积分联系起来的重要公式，其表达式为$\oint_{L}Pdx + Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中$L$为分段光滑的闭曲线，取正向，$D$是由$L$所围成的闭区域，$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数。

下面我们按照以下步骤进行计算：

  1. 确定$P(x,y)$和$Q(x,y)$：
    • 由曲线积分$\oint_{L}(2x - y + 4)dx+(5y + 3x - 6)dy$，可得$P(x,y)=2x - y + 4$，$Q(x,y)=5y + 3x - 6$。
  2. 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
    • 对$Q(x,y)=5y + 3x - 6$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial(5y + 3x - 6)}{\partial x}=3$。
    • 对$P(x,y)=2x - y + 4$关于$y$求偏导数，可得$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(2x - y + 4)}{\partial y}=-1$。
  3. 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$：
    • 将$\frac{\partial Q}{\partial x}=3$和$\frac{\partial P}{\partial y}=-1$代入$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$，可得$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3-(-1)=4$。
  4. 计算二重积分$\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$：
    • 因为$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=4$，所以$\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint_{D}4dxdy$。
    • 根据二重积分的性质，$\iint_{D}4dxdy = 4\iint_{D}dxdy$，而$\iint_{D}dxdy$表示区域$D$的面积。
  5. 计算区域$D$的面积：
    • 已知$D$为三顶点分别为$(0,0)$，$(3,0)$和$(3,2)$的三角形闭区域，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，这里底为$3$，高为$2$，则$D$的面积$S=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。
  6. 计算最终结果：
    • 因为$4\iint_{D}dxdy = 4\times S$，$S = 3$，所以$4\iint_{D}dxdy=4\times3 = 12$。