题目

设有甲和乙两个罐子，甲罐中有m个红球和n个黑球，乙罐中有n个红球和m个黑球，且m>n.随机选取一个罐子再从中随机抽取一球，发现为红球，将其放回后并摇匀.若再次在该罐中随机抽取一球，问该球仍为红色的概率是 A. (1)/(m+n) B. (n)/(m) C. 1/2 D. (m^2+n^2)/((m+n)^2)

设有甲和乙两个罐子，甲罐中有m个红球和n个黑球，乙罐中有n个红球和m个黑球，且m>n.随机选取一个罐子再从中随机抽取一球，发现为红球，将其放回后并摇匀.若再次在该罐中随机抽取一球，问该球仍为红色的概率是
A. $\frac{1}{m+n}$
B. $\frac{n}{m}$
C. 1/2
D. $\frac{m^{2}+n^{2}}{(m+n)^{2}}$

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用条件概率和全概率定律。让我们一步步来分析。 1. **定义事件:** - $ C_1 $: 选择甲罐的事件。 - $ C_2 $: 选择乙罐的事件。 - $ R_1 $: 第一次抽到红球的事件。 - $ R_2 $: 第二次抽到红球的事件。 2. **选择每个罐子的概率:** 由于罐子是随机选择的，选择任一罐子的概率为: \[ P(C_1) = \frac{1}{2}, \quad P(C_2) = \frac{1}{2} \] 3. **给定罐子时第一次抽到红球的概率:** - 如果选择甲罐，第一次抽到红球的概率为: \[ P(R_1 \mid C_1) = \frac{m}{m+n} \] - 如果选择乙罐，第一次抽到红球的概率为: \[ P(R_1 \mid C_2) = \frac{n}{m+n} \] 4. **第一次抽到红球的总概率:** 使用全概率定律，我们得到: \[ P(R_1) = P(R_1 \mid C_1)P(C_1) + P(R_1 \mid C_2)P(C_2) = \left(\frac{m}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{n}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{m+n}{2(m+n)} = \frac{1}{2} \] 5. **给定第一次抽到红球时选择每个罐子的概率:** 使用贝叶斯定理，我们得到: \[ P(C_1 \mid R_1) = \frac{P(R_1 \mid C_1)P(C_1)}{P(R_1)} = \frac{\left(\frac{m}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{m}{m+n} \] \[ P(C_2 \mid R_1) = \frac{P(R_1 \mid C_2)P(C_2)}{P(R_1)} = \frac{\left(\frac{n}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{n}{m+n} \] 6. **给定第一次抽到红球时第二次抽到红球的概率:** 再次使用全概率定律，我们得到: \[ P(R_2 \mid R_1) = P(R_2 \mid C_1, R_1)P(C_1 \mid R_1) + P(R_2 \mid C_2, R_1)P(C_2 \mid R_1) \] 由于球被放回并摇匀，给定罐子时第二次抽到红球的概率与第一次相同: \[ P(R_2 \mid C_1, R_1) = \frac{m}{m+n}, \quad P(R_2 \mid C_2, R_1) = \frac{n}{m+n} \] 因此: \[ P(R_2 \mid R_1) = \left(\frac{m}{m+n}\right)\left(\frac{m}{m+n}\right) + \left(\frac{n}{m+n}\right)\left(\frac{n}{m+n}\right) = \frac{m^2}{(m+n)^2} + \frac{n^2}{(m+n)^2} = \frac{m^2 + n^2}{(m+n)^2} \] 因此，第二次抽到的球仍为红色的概率是 $\boxed{\frac{m^2 + n^2}{(m+n)^2}}$。正确答案是 $\boxed{D}$。

解析

本题考查条件概率和全概率定律的应用。解题的关键思路是先定义相关事件，然后根据已知条件计算选择每个罐子的概率、在不同罐子中抽到红球的概率，再利用全概率定律求出第一次抽到红球的总概率，接着通过贝叶斯定理求出在第一次抽到红球的条件下选择每个罐子的概率，最后再次使用全概率定律求出在第一次抽到红球的条件下第二次抽到红球的概率。

  1. 定义事件：
    • 设$C_1$为选择甲罐的事件。
    • 设$C_2$为选择乙罐的事件。
    • 设$R_1$为第一次抽到红球的事件。
    • 设$R_2$为第二次抽到红球的事件。
  2. 选择每个罐子的概率：
    因为罐子是随机选择的，所以选择甲罐和乙罐的概率相等，即：
    $P(C_1) = \frac{1}{2}, \quad P(C_2) = \frac{1}{2}$
  3. 给定罐子时第一次抽到红球的概率：
    • 若选择甲罐，甲罐中有$m$个红球和$n$个黑球，那么第一次抽到红球的概率为：
      $P(R_1 \mid C_1) = \frac{m}{m+n}$
    • 若选择乙罐，乙罐中有$n$个红球和$m$个黑球，那么第一次抽到红球的概率为：
      $P(R_1 \mid C_2) = \frac{n}{m+n}$
  4. 第一次抽到红球的总概率：
    根据全概率定律$P(R_1)=P(R_1\mid C_1)P(C_1)+P(R_1\mid C_2)P(C_2)$，将上述概率值代入可得：
    $P(R_1) = \left(\frac{m}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{n}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{m + n}{2(m + n)} = \frac{1}{2}$
  5. 给定第一次抽到红球时选择每个罐子的概率：
    根据贝叶斯定理$P(C_i\mid R_1)=\frac{P(R_1\mid C_i)P(C_i)}{P(R_1)}$（$i = 1,2$），可得：
    • $P(C_1 \mid R_1) = \frac{P(R_1 \mid C_1)P(C_1)}{P(R_1)} = \frac{\left(\frac{m}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{m}{m+n}$
    • $P(C_2 \mid R_1) = \frac{P(R_1 \mid C_2)P(C_2)}{P(R_1)} = \frac{\left(\frac{n}{m+n}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{n}{m+n}$
  6. 给定第一次抽到红球时第二次抽到红球的概率：
    由于球被放回并摇匀，所以给定罐子时第二次抽到红球的概率与第一次相同，即$P(R_2 \mid C_1, R_1) = \frac{m}{m+n}$，$P(R_2 \mid C_2, R_1) = \frac{n}{m+n}$。
    再次使用全概率定律$P(R_2 \mid R_1) = P(R_2 \mid C_1, R_1)P(C_1 \mid R_1) + P(R_2 \mid C_2, R_1)P(C_2 \mid R_1)$，将上述概率值代入可得：
    $P(R_2 \mid R_1) = \left(\frac{m}{m+n}\right)\left(\frac{m}{m+n}\right) + \left(\frac{n}{m+n}\right)\left(\frac{n}{m+n}\right) = \frac{m^2}{(m+n)^2} + \frac{n^2}{(m+n)^2} = \frac{m^2 + n^2}{(m+n)^2}$