3.函数f(x)=}(x)/(1-e^frac(1){x)},&xneq0,0,&x=0在x=0处（ ）A. 不连续.B. 可导.C. 取极大值.D. 取极小值.

本题考查函数在某点处的连续性、可导性以及极值的判断，解题思路是分别根据连续性、可导性和极值的定义及判定方法来逐一分析函数在$x = 0$处的性质。

1. 判断函数在$x = 0$处的连续性

函数在某点连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
计算$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$，需要分别计算$x\to 0^+$和$x\to 0^-$时的极限：

• 当$x\to 0^+$时，$\frac{1}{x}\to +\infty$，则$e^{\frac{1}{x}}\to +\infty$，$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$，分子分母同时除以$e^{\frac{1}{x}}$可得：
  $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x e^{-\frac{1}{x}}}{e^{-\frac{1}{x}} - 1}$，因为$\lim\limits_{x \to 0^+} x e^{-\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}=0$（指数函数增长速度远快于一次函数），$\lim\limits_{x \to 0^+} (e^{-\frac{1}{x}} - 1)= -1$，所以$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}=0$。
• 当$x\to 0^-$时，$\frac{1}{x}\to -\infty$，则$e^{\frac{1}{x}}\to 0$，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}=\frac{0}{1 - 0}=0$。
  因为$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=0=f(0)$，所以函数$f(x)$在$x = 0$处连续。

2. 判断函数在$x = 0$处的可导性

函数在某点可导的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$存在。
计算$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}-0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$，同样需要分别计算$x\to 0^+$和$x\to 0^-$时的极限：

• 当$x\to 0^+$时，$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}=0$。
• 当$x\to 0^-$时，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}=1$。
  因为$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}\neq\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$，所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$不存在，即函数$f(x)$在$x = 0$处不可导。

3. 判断函数在$x = 0$处是否取极值

当$x\neq 0$时，$f(x)=\frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$，对其进行分析：

• 当$x\gt 0$时，$e^{\frac{1}{x}}\gt 1$，则$1 - e^{\frac{1}{x}}\lt 0$，所以$f(x)=\frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}\lt 0=f(0)$。
• 当$x\lt 0$时，$0\lt e^{\frac{1}{x}}\lt 1$，则$1 - e^{\frac{1}{x}}\gt 0$，所以$f(x)=\frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}\lt 0=f(0)$。
  根据极值的定义，在$x = 0$的某邻域内，对于任意$x\neq 0$，都有$f(x)\lt f(0)$，所以函数$f(x)$在$x = 0$处取极大值。