填空题（共25题，50.0分）44.（2.0分）lim_(xto0)(15x)/(sin3x)=_.

本题考查极限的计算，可通过等价无穷小替换或洛必达法则来求解。

方法一：等价无穷小替换

当$x \to 0$时，$\sin t\sim t$，在本题中$t = 3x$，当$x \to 0$时，$3x \to 0$，所以$\sin 3x \sim 3x$。
将$\sin 3x$用等价无穷小$3x$替换到原式中，可得：
$\lim_{x\to0}\frac{15x}{\sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{15x}{3x}$
对$\frac{15x}{3x}$进行化简，$x\neq0$时，$\frac{15x}{3x}=\frac{15}{3}=5$，所以$\lim_{x\to0}\frac{15x}{3x}=\lim_{x\to0} 5 = 5$。

方法二：洛必达法则

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
对于$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$，若$f(x)$和$g(x)$在$a$的某去心邻域内可导，且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$或$\pm\infty$，$g^\prime(x)\neq0$，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
在本题中，$f(x)=15x$，$g(x)=\sin 3x$，当$x\to0$时，$\lim_{x\to0}15x = 0$，$\lim_{x\to0}\sin 3x = 0$，满足洛必达法则的条件。
对$f(x)$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$f^\prime(x)=(15x)^\prime=15$。
对$g(x)$求导，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = 3x$，则$(\sin 3x)^\prime=(\sin u)^\prime\cdot(3x)^\prime=\cos u\cdot3 = 3\cos 3x$。
所以$\lim_{x\to0}\frac{15x}{\sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{15}{3\cos 3x}$
将$x = 0$代入$\frac{15}{3\cos 3x}$，可得$\frac{15}{3\cos(3\times0)}=\frac{15}{3\cos 0}$，因为$\cos 0 = 1$，所以$\frac{15}{3\cos 0}=\frac{15}{3}=5$。