题目
设 3-|||-A= 2 2 1-|||- 3，则 3-|||-A= 2 2 1-|||- 3（ ）。A. 3-|||-A= 2 2 1-|||- 3；B. 3-|||-A= 2 2 1-|||- 3；C.逆矩阵不存在；D. 3-|||-A= 2 2 1-|||- 3；
设
，则
（ ）。
A.
；
B.
；
C.逆矩阵不存在；
D.
；
题目解答
答案
根据三阶行列式的计算公式，有
，
故逆矩阵存在。根据代数余子式的定义，有
，
，
，
，
，
，
，
，
。根据伴随矩阵的定义，有
，根据逆矩阵的计算公式，有
，故应选D选项。
解析
步骤 1：计算矩阵 A 的行列式值
根据三阶行列式的计算公式，有
|A|= $\left |\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{matrix} | \right.$ =1×2×3+2 ×1×3+3×2×4
$-3\times 2\times 3-1\times 1\times 4-2\times 2\times 3$
$=6+6+24-18-4-12=2\neq 0$，
步骤 2：计算矩阵 A 的代数余子式
根据代数余子式的定义，有
A11=(-1)^(1+1) 2 1 =2×3-1×4=2 4 3，A21=(-1)^(2+1) |2 3 =-(2×3-3 ×4)=6 4 3，A31=(-1)^(3+1) 2 3 =2×1-3×2 =-4 2 1，A12=(-1)^(1+2) 2 1 =-(2×3-1 ×3)=-3 3 3，A22=(-1)^(2+2) 1 3 =1×3-3×3 =-6 3 3，A32=(-1)^(2+2) 1 3 =-(1×1-3×2)=5 2 1，A13=(-1)^(1+3) 2 2 =2×4-2×3=2 3 4，A23=(-1)^(2+3) 1 2 =-(1×4-2 ×3)=2 3 4，1 2 A33=(-1)^(3+3) 2 2 =1×2-2×2 =-2。
步骤 3：计算伴随矩阵 A*
根据伴随矩阵的定义，有
2 6 -4 ${A}^{*}=$ -3 -6 5 2 2 -2，
步骤 4：计算逆矩阵 A^{-1}
根据逆矩阵的计算公式，有${A}^{-1}=\dfrac {1}{|A|}{A}^{*}=\dfrac {1}{2}$ -3 -6 5 2 6 -4 2 2 -2
1 3 -2 = .$-\dfrac {3}{2}$ -3 $\dfrac {5}{2}$ 1 1 $-1$.
根据三阶行列式的计算公式，有
|A|= $\left |\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{matrix} | \right.$ =1×2×3+2 ×1×3+3×2×4
$-3\times 2\times 3-1\times 1\times 4-2\times 2\times 3$
$=6+6+24-18-4-12=2\neq 0$，
步骤 2：计算矩阵 A 的代数余子式
根据代数余子式的定义，有
A11=(-1)^(1+1) 2 1 =2×3-1×4=2 4 3，A21=(-1)^(2+1) |2 3 =-(2×3-3 ×4)=6 4 3，A31=(-1)^(3+1) 2 3 =2×1-3×2 =-4 2 1，A12=(-1)^(1+2) 2 1 =-(2×3-1 ×3)=-3 3 3，A22=(-1)^(2+2) 1 3 =1×3-3×3 =-6 3 3，A32=(-1)^(2+2) 1 3 =-(1×1-3×2)=5 2 1，A13=(-1)^(1+3) 2 2 =2×4-2×3=2 3 4，A23=(-1)^(2+3) 1 2 =-(1×4-2 ×3)=2 3 4，1 2 A33=(-1)^(3+3) 2 2 =1×2-2×2 =-2。
步骤 3：计算伴随矩阵 A*
根据伴随矩阵的定义，有
2 6 -4 ${A}^{*}=$ -3 -6 5 2 2 -2，
步骤 4：计算逆矩阵 A^{-1}
根据逆矩阵的计算公式，有${A}^{-1}=\dfrac {1}{|A|}{A}^{*}=\dfrac {1}{2}$ -3 -6 5 2 6 -4 2 2 -2
1 3 -2 = .$-\dfrac {3}{2}$ -3 $\dfrac {5}{2}$ 1 1 $-1$.