如果 z=ln(2x+y^2)，则 dz=()A. dz=(2)/(2x+y^2)dx+(2x)/(2x+y^2)dyB. dz=(2x)/(2x+y^2)dx+(2)/(2x+y^2)dyC. dz=(2)/(2x+y^2)dx+(2y)/(2x+y^2)dyD. dz=(2y)/(2x+y^2)dx+(2)/(2x+y^2)dy

本题考查多元函数全微分的计算。解题思路是先求出函数$z = \ln(2x + y^2)$对$x$和$y$的偏导数，再根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$计算$dz$。

步骤一：求$\frac{\partial z}{\partial x}$

根据复合函数求导法则，若$z = \ln(u)$，$u = 2x + y^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。

• 对$z = \ln(u)$关于$u$求导，可得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = 2x + y^2$关于$x$求导，因为$y$看作常数，所以$\frac{\partial u}{\partial x}=2$。
  将$u = 2x + y^2$代入$\frac{\partial z}{\partial u}$，再根据复合函数求导法则可得：
  $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2x + y^2}\cdot2=\frac{2}{2x + y^2}$

步骤二：求$\frac{\partial z}{\partial y}$

同样根据复合函数求导法则，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。

• 前面已求得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = 2x + y^2$关于$y$求导，因为$x$看作常数，所以$\frac{\partial u}{\partial y}=2y$。
  将$u = 2x + y^2$代入$\frac{\partial z}{\partial u}$，再根据复合函数求导法则可得：
  $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2x + y^2}\cdot2y=\frac{2y}{2x + y^2}$

步骤三：计算$dz$

根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2}{2x + y^2}$和$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{2x + y^2}$代入可得：
$dz=\frac{2}{2x + y^2}dx+\frac{2y}{2x + y^2}dy$