9.设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且lim_(x to 0)f(x)=0，则（）A. 当lim_(x to 0) (f(x))/(x)存在时，f(x)在x=0处可导.B. 当lim_(x to 0) (f(x))/(|x|)=0时，f(x)在x=0处可导.C. 当f(x)在x=0处可导时，lim_(x to 0) (f(x))/(sqrt(1-cos x))存在.D. 当f(x)在x=0处可导，且lim_(x to 0) (f(x))/(sqrt(1-cos x))存在时，f'(0)=0.

本题主要考查函数在某点可导的定义以及极限的相关知识。解题的关键在于理解函数在一点可导的充要条件是左导数等于右导数，同时灵活运用等价无穷小等极限性质来判断各个选项。

选项A

函数$f(x)$在$x = 0$处可导的定义为$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$存在。已知$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=0$，但并没有给出$f(0)$的值，若$f(0)\neq0$，即使$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在，也不能得出$f(x)$在$x = 0$处可导，所以选项A错误。

选项B

已知$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{|x|}=0$，因为$\vert x\vert=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x\lt0\end{cases}$。
当$x\to0^+$时，$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}=0$；当$x\to0^-$时，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{-x}=0$，即$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x}=0$。
虽然左右导数都为$0$，但同样不知道$f(0)$的值，若$f(0)\neq0$，$f(x)$在$x = 0$处不可导，所以选项B错误。

选项C

当$f(x)$在$x = 0$处可导时，$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$存在。
当$x\to0$时，$\sqrt{1 - \cos x}=\sqrt{2\sin^2\frac{x}{2}}\approx\sqrt{2}\vert\frac{x}{2}\vert=\frac{\sqrt{2}}{2}\vert x\vert$。
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - \cos x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\vert x\vert}$，仅知道$f(x)$在$x = 0$处可导，不能确定$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\vert x\vert}$一定存在，所以选项C错误。

选项D

当$x\to0$时，$\sqrt{1 - \cos x}\sim\frac{\sqrt{2}}{2}\vert x\vert$。
已知$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - \cos x}}$存在，设$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - \cos x}} = A$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\vert x\vert}=A$。
因为$f(x)$在$x = 0$处可导，所以$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$存在。
$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=A\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-A\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$。
由于$f^\prime(0)$存在，则左导数等于右导数，即$A\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-A\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$A = 0$。
所以$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$，选项D正确。