题目

设X是[0,1]上的随机变量，且P(X<0.29)=0.75，若Y=1-X，P(Y≤0.71)=____.

设X是[0,1]上的随机变量，且P(X<0.29)=0.75，若Y=1-X，P(Y≤0.71)=____.

题目解答

答案

已知 $X$ 是 $[0,1]$ 上的随机变量，且 $P(X<0.29)=0.75$。设 $Y=1-X$，则 \[ P(Y \leq 0.71) = P(1-X \leq 0.71) = P(X \geq 0.29). \] 利用补集规则， \[ P(X \geq 0.29) = 1 - P(X < 0.29) = 1 - 0.75 = 0.25. \] 因此，答案为 $\boxed{0.25}$。

解析

本题考查随机变量的概率计算以及概率的基本性质。解题的关键思路是通过对随机变量$Y$的不等式进行变形，将其转化为关于随机变量$X$的不等式，再利用概率的补集规则来求解。

  1. 首先，根据已知条件$Y = 1 - X$，要求$P(Y\leq0.71)$，将$Y = 1 - X$代入不等式$Y\leq0.71$中，得到$1 - X\leq0.71$。
  2. 然后，对不等式$1 - X\leq0.71$进行求解：
    • 为了得到$X$的取值范围，在不等式两边同时减去$1$，得到$-X\leq0.71 - 1$，即$-X\leq - 0.29$。
    • 不等式两边同时乘以$-1$，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变的原则，得到$X\geq0.29$。所以$P(Y\leq0.71)=P(X\geq0.29)$。
  3. 最后，利用概率的补集规则：对于一个随机变量$X$，事件$\{X\geq a\}$与事件$\{X < a\}$是互斥且对立的，它们的概率之和为$1$，即$P(X\geq a)=1 - P(X < a)$。
    • 已知$P(X < 0.29)=0.75$，那么$P(X\geq0.29)=1 - P(X < 0.29)$。
    • 将$P(X < 0.29)=0.75$代入上式，可得$P(X\geq0.29)=1 - 0.75 = 0.25$。