设随机变量 X 服从参数为 lambda 的泊松分布，且 PX=1=PX=2 ，则 lambda= ______ .

本题考查泊松分布的概率公式及方程求解。解题思路是先明确泊松分布的概率公式，再根据已知条件$P\{X = 1\} = P\{X = 2\}$列出等式，最后求解该等式得到$\lambda$的值。

步骤一：明确泊松分布的概率公式

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，其概率质量函数为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中$k = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda\gt0$。

步骤二：根据已知条件列出等式

已知$P\{X = 1\} = P\{X = 2\}$，将$k = 1$和$k = 2$分别代入泊松分布的概率公式可得：
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$

步骤三：求解等式

因为$e^{-\lambda}\gt0$，等式两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到$\frac{\lambda}{1!} = \frac{\lambda^2}{2!}$。
又因为$1! = 1$，$2! = 2\times1 = 2$，所以$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$。
移项可得$\lambda^2 - 2\lambda = 0$，提取公因式$\lambda$得到$\lambda(\lambda - 2) = 0$。
则$\lambda = 0$或$\lambda - 2 = 0$，即$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。
由于泊松分布的参数$\lambda\gt0$，所以舍去$\lambda = 0$，得到$\lambda = 2$。