已知sin(pi)/(6)=(1)/(2);sin(pi)/(4)=(1)/(sqrt(2));sin(pi)/(3)=(sqrt(3))/(2)，分别用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50°，并估计误差

本题主要考查拉格朗日插值多项式的构造与计算，以及插值误差的估计。解题思路是先根据给定的已知点构造相应次数的拉格朗日插值多项式，然后将待求点代入插值多项式计算近似值，最后根据插值误差公式估计误差。

一次拉格朗日插值

1. 选取插值节点：
   为了计算$\sin50^{\circ}$，我们选取$x_0 = 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$，$x_1 = 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$，对应的函数值$y_0=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$y_1=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 构造一次拉格朗日插值多项式：
   一次拉格朗日插值多项式公式为$L_1(x)=l_0(x)y_0 + l_1(x)y_1$，其中$l_0(x)=\frac{x - x_1}{x_0 - x_1}$，$l_1(x)=\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$。
   计算$l_0(x)$和$l_1(x)$：
   $l_0(x)=\frac{x-\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}}=\frac{x - \frac{\pi}{3}}{-\frac{\pi}{12}}=\frac{12}{\pi}(\frac{\pi}{3}-x)$
   $l_1(x)=\frac{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}}=\frac{x - \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{12}}=\frac{12}{\pi}(x-\frac{\pi}{4})$
   则$L_1(x)=\frac{12}{\pi}(\frac{\pi}{3}-x)\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{12}{\pi}(x - \frac{\pi}{4})\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. 计算$P_1(50^{\circ})$：
   因为$50^{\circ}=\frac{5\pi}{18}$，将$x = \frac{5\pi}{18}$代入$L_1(x)$：
   $\begin{align*} L_1(\frac{5\pi}{18})&=\frac{12}{\pi}(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{18})\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{12}{\pi}(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=\frac{12}{\pi}\times\frac{\pi}{18}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{12}{\pi}\times\frac{\pi}{36}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=\frac{2}{3\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{6}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}\\ &\approx\frac{1.4142}{3}+\frac{1.7321}{6}\\ &\approx0.4714 + 0.2887\\ &\approx0.7601 \end{align*}$
4. 误差估计：
   一次拉格朗日插值误差公式为$R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x - x_0)(x - x_1)$，其中$f(x)=\sin x$，$f''(x)=-\sin x$，$\xi\in(x_0,x_1)$。
   $R_1(\frac{5\pi}{18})=\frac{-\sin\xi}{2}(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3})$，$\xi\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$。
   $\vert R_1(\frac{5\pi}{18})\vert=\frac{\vert\sin\xi\vert}{2}\vert\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4}\vert\vert\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3}\vert=\frac{\vert\sin\xi\vert}{2}\times\frac{\pi}{36}\times\frac{\pi}{18}$。
   因为$\sin\xi$在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$上$\frac{\sqrt{2}}{2}\lt\sin\xi\lt\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\vert R_1(\frac{5\pi}{18})\vert\leqslant\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{36}\times\frac{\pi}{18}\approx0.0076$。

二次拉格朗日插值

1. 选取插值节点：
   选取$x_0 = 30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$，$x_1 = 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$，$x_2 = 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$，对应的函数值$y_0=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$y_1=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$y_2=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 构造二次拉格朗日插值多项式：
   二次拉格朗日插值多项式公式为$L_2(x)=l_0(x)y_0 + l_1(x)y_1 + l_2(x)y_2$，其中$l_0(x)=\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)}$，$l_1(x)=\frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)}$，$l_2(x)=\frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)}$。
   计算$l_0(x)$，$l_1(x)$和$l_2(x)$：
   $l_0(x)=\frac{(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{3})}{(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4})(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3})}=\frac{(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi^2}{36}}$
   $l_1(x)=\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{3})}{(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3})}=\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{3})}{-\frac{\pi^2}{24}}$
   $l_2(x)=\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{4})}{(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})}=\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi^2}{36}}$
   则$L_2(x)=\frac{(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi^2}{36}}\times\frac{1}{2}-\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi^2}{24}}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi^2}{36}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. 计算$P_2(50^{\circ})$：
   因为$50^{\circ}=\frac{5\pi}{18}$，将$x = \frac{5\pi}{18}$代入$L_2(x)$：
   $\begin{align*} L_2(\frac{5\pi}{18})&=\frac{(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi^2}{36}}\times\frac{1}{2}-\frac{(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{6})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi^2}{24}}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{6})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi^2}{36}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &\approx0.7654 \end{align*}$
4. 误差估计：
   二次拉格朗日插值误差公式为$R_2(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)$，其中$f(x)=\sin x$，$f'''(x)=-\cos x$，$\xi\in(x_0,x_2)$。
   $R_2(\frac{5\pi}{18})=\frac{-\cos\xi}{6}(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{6})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3})$，$\xi\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$。
   $\vert R_2(\frac{5\pi}{18})\vert=\frac{\vert\cos\xi\vert}{6}\vert\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{6}\vert\vert\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4}\vert\vert\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3}\vert$。
   因为$\cos\xi$在$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$上$\frac{1}{2}\lt\cos\xi\lt\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\vert R_2(\frac{5\pi}{18})\vert\leqslant\frac{1}{6}\times\frac{\pi}{9}\times\frac{\pi}{36}\times\frac{\pi}{18}\approx0.0003$。