题目

4.已知f(x) int_(0)^xf(t)dt=1(xneq0),试求函数f(x)的一般表达式.

4.已知f(x) $\int_{0}^{x}f(t)dt=1(x\neq0)$,试求函数f(x)的一般表达式.

题目解答

答案

令 $ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt $，则 $ F(0) = 0 $ 且 $ F'(x) = f(x) $。由题意得 $ f(x) F(x) = 1 $，代入得 $ F'(x) F(x) = 1 $。
对两边积分得 $ \frac{F^2(x)}{2} = x + C $，由 $ F(0) = 0 $ 得 $ C = 0 $，故 $ F^2(x) = 2x $。
取平方根得 $ F(x) = \pm \sqrt{2x} $，求导得 $ f(x) = F'(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2x}} $。

答案：
$\boxed{f(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2x}}}$

解析

本题考查的知识点是积分与求导的关系以及一阶微分方程的求解。解题的关键思路是通过引入一个新的函数$F(x)$来简化已知条件，然后利用积分与求导的互逆关系以及给定的初始条件来求解函数$F(x)$，最后再求出原函数$f(x)$。

  1. 引入新函数并化简条件：
    • 令$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$。
    • 根据定积分的性质，当积分上限和下限相同时，定积分的值为$0$，所以$F(0)=\int_{0}^{0}f(t)dt = 0$。
    • 由微积分基本定理可知，若$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$，则$F^\prime(x)=f(x)$。
    • 已知$f(x)\int_{0}^{x}f(t)dt = 1$，将$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$和$F^\prime(x)=f(x)$代入该式，可得$F^\prime(x)F(x)=1$。
  2. 求解关于$F(x)$的方程：
    • 对$F^\prime(x)F(x)=1$两边同时积分，根据积分公式$\int udu=\frac{u^{2}}{2}+C$（这里令$u = F(x)$），可得$\int F^\prime(x)F(x)dx=\int 1dx$。
    • 对左边积分$\int F^\prime(x)F(x)dx$，令$u = F(x)$，则$du = F^\prime(x)dx$，那么$\int F^\prime(x)F(x)dx=\int udu=\frac{F^{2}(x)}{2}+C_1$；右边$\int 1dx=x + C_2$。
    • 所以$\frac{F^{2}(x)}{2}=x + C$（$C = C_2 - C_1$为常数）。
  3. 确定常数$C$的值：
    • 因为$F(0)=0$，将$x = 0$，$F(0)=0$代入$\frac{F^{2}(x)}{2}=x + C$中，得到$\frac{0^{2}}{2}=0 + C$，解得$C = 0$。
    • 则$\frac{F^{2}(x)}{2}=x$，即$F^{2}(x)=2x$。
  4. 求出$F(x)$的表达式：
    • 对$F^{2}(x)=2x$两边取平方根，可得$F(x)=\pm\sqrt{2x}$（因为$F(x)$是积分函数，在其定义域内有意义，这里$x\gt0$）。
  5. 求出$f(x)$的表达式：
    • 因为$f(x)=F^\prime(x)$，对$F(x)=\pm\sqrt{2x}=\pm\sqrt{2}x^{\frac{1}{2}}$求导。
    • 根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$F^\prime(x)=\pm\sqrt{2}\times\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2x}}$，即$f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2x}}$。