题目

求函数 u=x+y+z 在球面 ^2+(y)^2+(z)^2=1 上点(x0,y0 ,z0)处,沿球-|||-面在该点的外法线方向的方向导数.

题目解答

答案

解析

本题考查方向导数的计算，解题的关键在于先求出球面在给定点处的外法线方向向量，进而得到其方向余弦，再结合函数的偏导数，利用方向导数的计算公式求解。

  1. 求球面在点$(x_0,y_0,z_0)$处的外法线方向向量：
    • 设$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$，根据求偏导数的公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：
      • $\frac{\partial F}{\partial x}=2x$；
      • $\frac{\partial F}{\partial y}=2y$；
      • $\frac{\partial F}{\partial z}=2z$。
    • 那么球面在点$(x_0,y_0,z_0)$处的外法线方向向量$\vec{l}$为$\vec{l}=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})\big|_{(x_0,y_0,z_0)}=(2x_0,2y_0,2z_0)$。
  2. 求方向向量$\vec{l}$的方向余弦：
    • 对于向量$\vec{l}=(2x_0,2y_0,2z_0)$，其模$\vert\vec{l}\vert=\sqrt{(2x_0)^2+(2y_0)^2+(2z_0)^2}=2\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}+z_0^{2}}$。
    • 因为点$(x_0,y_0,z_0)$在球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$上，所以$x_0^{2}+y_0^{2}+z_0^{2}=1$，则$\vert\vec{l}\vert = 2$。
    • 根据方向余弦的定义$\cos\alpha=\frac{l_x}{\vert\vec{l}\vert}$，$\cos\beta=\frac{l_y}{\vert\vec{l}\vert}$，$\cos\gamma=\frac{l_z}{\vert\vec{l}\vert}$（其中$l_x$、$l_y$、$l_z$分别是向量$\vec{l}$在$x$、$y$、$z$轴上的分量），可得：
      • $\cos\alpha=\frac{2x_0}{2}=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}+z_0^{2}}}=x_0$；
      • $\cos\beta=\frac{2y_0}{2}=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}+z_0^{2}}}=y_0$；
      • $\cos\gamma=\frac{2z_0}{2}=\frac{z_0}{\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}+z_0^{2}}}=z_0$。
  3. 求函数$u = x + y + z$的偏导数：
    • 对$u$分别关于$x$、$y$、$z$求偏导数：
      • $\frac{\partial u}{\partial x}=1$；
      • $\frac{\partial u}{\partial y}=1$；
      • $\frac{\partial u}{\partial z}=1$。
  4. 计算方向导数：
    • 根据方向导数的计算公式$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$，将上述偏导数和方向余弦代入可得：
      • $\frac{\partial u}{\partial l}\big|_{(x_0,y_0,z_0)}=1\times x_0 + 1\times y_0 + 1\times z_0=x_0 + y_0 + z_0$。