单选题(7.0分)6.若二维随机变量(X,Y)在以原点为中心的正方形[-1,1]×[-1,1]上服从均匀分布，那么P({XA. (1)/(2)B. (4)/(5)C. (2)/(3)D. (3)/(4)

本题考查二维均匀分布的概率计算。解题思路是先确定二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数，再根据概率的计算公式，通过计算相应区域的面积来求解$P\{X < \frac{1}{2}\}$。

步骤一：确定联合概率密度函数

已知二维随机变量$(X,Y)$在以原点为中心的正方形$[-1,1]\times[-1,1]$上服从均匀分布。
对于二维均匀分布，其联合概率密度函数为：
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S_D},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$
其中$S_D$是区域$D$的面积。
在本题中，区域$D = [-1,1]\times[-1,1]$，这是一个边长为$2$的正方形，根据正方形面积公式$S = a^2$（$a$为边长），可得$S_D = 2\times2 = 4$。
所以联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{4},& -1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1\\0,& 其他\end{cases}$。

步骤二：计算$P\{X < \frac{1}{2}\}$

根据二维随机变量概率的计算公式$P\{(X,Y)\in G\}=\iint_G f(x,y)dxdy$，要求$P\{X < \frac{1}{2}\}$，则积分区域$G$为$\{(x,y)| -1\leq x < \frac{1}{2}, -1\leq y\leq 1\}$。
所以$P\{X < \frac{1}{2}\}=\iint_{-1\leq x < \frac{1}{2}, -1\leq y\leq 1} f(x,y)dxdy$
因为$f(x,y)$在$-1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1$时为$\frac{1}{4}$，其他情况为$0$，则：
$P\{X < \frac{1}{2}\}=\int_{-1}^{1}dy\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dx$
先计算内层积分$\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dx$：
根据定积分公式$\int_{a}^{b}kdx = k(b - a)$（$k$为常数），可得$\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dx = \frac{1}{4}\times(\frac{1}{2}-(-1))=\frac{1}{4}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{8}$。
再计算外层积分$\int_{-1}^{1}dy$：
$\int_{-1}^{1}dy = 1 - (-1) = 2$。
所以$P\{X < \frac{1}{2}\}=2\times\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$。