题目

4.给定一阶微分方程(dy)/(dx)=2x, (1)求出它的通解;(2)求通过点(1,4)的特解;(3)求出与直线y=2x+3相切的解;(4)求出满足条件int_(0)^1ydx=2的解;(5)绘出(2),(3),(4)中的解的图形

4.给定一阶微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$, (1)求出它的通解; (2)求通过点(1,4)的特解; (3)求出与直线y=2x+3相切的解; (4)求出满足条件$\int_{0}^{1}ydx=2$的解; (5)绘出(2),(3),(4)中的解的图形

题目解答

答案

为了解决给定的一阶微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，我们将按照以下步骤进行：

(1) 求出它的通解

首先，我们对等式两边关于 $x$ 进行积分：
$\int \frac{dy}{dx} \, dx = \int 2x \, dx$
左边简化为 $y$，右边是 $x^2$ 加上一个积分常数 $C$：
$y = x^2 + C$
因此，微分方程的通解是：
$y = x^2 + C$

(2) 求通过点(1,4)的特解

为了找到通过点 $(1,4)$ 的特解，我们将 $x = 1$ 和 $y = 4$ 代入通解中：
$4 = 1^2 + C \implies 4 = 1 + C \implies C = 3$
因此，特解是：
$y = x^2 + 3$

(3) 求出与直线 $y = 2x + 3$ 相切的解

在切点处，解的斜率必须等于直线 $y = 2x + 3$ 的斜率，即 2。解 $y = x^2 + C$ 的斜率由其导数给出：
$\frac{dy}{dx} = 2x$
将导数设为 2，我们得到：
$2x = 2 \implies x = 1$
将 $x = 1$ 代入直线方程 $y = 2x + 3$ 中，找到对应的 $y$-坐标：
$y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
因此，切点是 $(1,5)$。现在，我们将 $x = 1$ 和 $y = 5$ 代入通解中：
$5 = 1^2 + C \implies 5 = 1 + C \implies C = 4$
因此，与直线相切的解是：
$y = x^2 + 4$

(4) 求出满足条件 $\int_{0}^{1} y \, dx = 2$ 的解

首先，我们从 $0$ 到 $1$ 积分通解 $y = x^2 + C$：
$\int_{0}^{1} (x^2 + C) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + Cx \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + C \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + C \cdot 0 \right) = \frac{1}{3} + C$
我们将这个结果设为 2：
$\frac{1}{3} + C = 2 \implies C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
因此，满足条件的解是：
$y = x^2 + \frac{5}{3}$

(5) 绘出(2),(3),(4)中的解的图形

(2)中的解是 $y = x^2 + 3$，(3)中的解是 $y = x^2 + 4$，(4)中的解是 $y = x^2 + \frac{5}{3}$。这些是开口向上的抛物线，具有不同的 $y$-截距。

最终答案是：
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{(1) 通解:} & y = x^2 + C \\\text{(2) 特解:} & y = x^2 + 3 \\\text{(3) 与直线相切的解:} & y = x^2 + 4 \\\text{(4) 满足条件的解:} & y = x^2 + \frac{5}{3} \\\end{array}}$

解析

本题主要考察一阶微分方程的求解，包括通解、特解的求解，以及根据特定条件确定解的常数，并涉及简单的图形绘制。解题的关键在于利用积分运算求出通解，再根据不同的条件代入通解中确定常数的值。

  1. 求通解：
    • 对于一阶微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，根据不定积分的性质，对等式两边同时关于$x$积分。
    • 由$\int \frac{dy}{dx}dx = y$（这是根据不定积分的基本定义，$\int \frac{dy}{dx}dx$表示对$y$关于$x$的导数进行积分，结果就是$y$本身），$\int 2xdx$根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，这里$n = 1$，可得$\int 2xdx=2\times\frac{x^{1 + 1}}{1+1}+C=x^2+C$。
    • 所以通解为$y = x^2 + C$。
  2. 求通过点$(1,4)$的特解：
    • 特解是在通解的基础上，根据给定的初始条件确定常数$C$的值。
    • 把$x = 1$，$y = 4$代入通解$y = x^2 + C$中，得到$4=1^2+C$。
    • 即$4 = 1 + C$，移项可得$C=4 - 1=3$。
    • 所以特解为$y = x^2 + 3$。
  3. 求与直线$y = 2x + 3$相切的解：
    • 首先，直线$y = 2x + 3$的斜率为$2$，因为两曲线相切时，在切点处它们的斜率相等。
    • 对于曲线$y = x^2 + C$，其导数$\frac{dy}{dx}=2x$（根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，$y = x^2 + C$求导，$C$为常数，导数为$0$，$(x^2)^\prime=2x$），令$\frac{dy}{dx}=2$，即$2x = 2$，解得$x = 1$。
    • 把$x = 1$代入直线$y = 2x + 3$中，可得$y=2\times1 + 3=5$，所以切点坐标为$(1,5)$。
    • 再把$x = 1$，$y = 5$代入通解$y = x^2 + C$中，得到$5=1^2+C$。
    • 即$5 = 1 + C$，移项可得$C=5 - 1=4$。
    • 所以与直线相切的解为$y = x^2 + 4$。
  4. 求满足条件$\int_{0}^{1}y dx = 2$的解：
    • 先对通解$y = x^2 + C$在区间$[0,1]$上进行定积分。
    • 根据定积分公式$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，$\int_{0}^{1}(x^2 + C)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}Cdx$。
    • 由$\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$，$\int_{0}^{1}Cdx=\left[Cx\right]_{0}^{1}=C\times1 - C\times0=C$。
    • 所以$\int_{0}^{1}(x^2 + C)dx=\frac{1}{3}+C$。
    • 因为$\int_{0}^{1}y dx = 2$，即$\frac{1}{3}+C = 2$，移项可得$C=2-\frac{1}{3}=\frac{6 - 1}{3}=\frac{5}{3}$。
    • 所以满足条件的解为$y = x^2+\frac{5}{3}$。
  5. 绘出(2)，(3)，(4)中的解的图形：
    • (2)中的解$y = x^2 + 3$，(3)中的解$y = x^2 + 4$，(4)中的解$y = x^2+\frac{5}{3}$，它们都是二次函数，二次项系数为$1\gt0$，所以图形都是开口向上的抛物线，只是$y$轴截距不同，分别为$3$，$4$，$\frac{5}{3}$。