6. (5.0分) 计算iiintsqrt(x^2)+y^(2)dV，其中Ω是由抛物面z=4-x²-y²及z=0所围成的空间闭区域.A. (64)/(15)piB. (128)/(15)piC. (18)/(5)piD. 32π

本题考查利用柱坐标计算三重积分的知识。解题思路是先将直角坐标下的三重积分转化为柱坐标下的三重积分，然后确定积分限，最后进行积分计算。

步骤一：将直角坐标转化为柱坐标

在柱坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，且$dV = rdzdrd\theta$，$\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r$。
此时原积分$\iiint_{\Omega}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dV$可转化为$\iiint_{\Omega}r\cdot rdzdrd\theta=\iiint_{\Omega}r^{2}dzdrd\theta$。

步骤二：确定积分限

• $z$的积分限：
  已知区域$\Omega$由抛物面$z = 4 - x^{2} - y^{2}$及$z = 0$所围成，将$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$代入$z = 4 - x^{2} - y^{2}$可得$z = 4 - r^{2}$，所以$z$的下限为$0$，上限为$4 - r^{2}$，即$0\leq z\leq 4 - r^{2}$。
• $r$的积分限：
  联立$\begin{cases}z = 4 - x^{2} - y^{2}\\z = 0\end{cases}$，可得$x^{2} + y^{2} = 4$，在柱坐标中$x^{2} + y^{2} = r^{2}$，所以$r^{2} = 4$，即$r = 2$（$r\geq0$），那么$r$的下限为$0$，上限为$2$，即$0\leq r\leq 2$。
• $\theta$的积分限：
  由于是整个圆周，所以$\theta$的下限为$0$，上限为$2\pi$，即$0\leq\theta\leq 2\pi$。

步骤三：计算积分

将积分限代入柱坐标下的三重积分可得：
$\begin{align*}&\iiint_{\Omega}r^{2}dzdrd\theta\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{2}dr\int_{0}^{4 - r^{2}}dz\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{2}\cdot(4 - r^{2})dr\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}(4r^{2} - r^{4})dr\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\frac{4}{3}r^{3} - \frac{1}{5}r^{5}\right)\big|_{0}^{2}\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\frac{4}{3}\times 2^{3} - \frac{1}{5}\times 2^{5}\right)\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\frac{32}{3} - \frac{32}{5}\right)\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\times\frac{160 - 96}{15}\\=&\int_{0}^{2\pi}d\theta\times\frac{64}{15}\\=&\frac{64}{15}\times 2\pi\\=&\frac{128}{15}\pi\end{align*}$