2 单选 (5分) 根据二重积分的几何意义判断，下列不等式中正确的是 ( ).A. iintlimits_(D)ln(x^2+y^2)dxdy>0 其中D:|x|+|y|≤1.B. iintlimits_(D)(-x^2-y^2)dxdy>0 其中D:x²+y²≤1.C. iintlimits_(D)(x-1)dxdy>0 其中D:|x|≤1,|y|≤1.D. iintlimits_(D)(x+1)dxdy>0 其中D:|x|≤1,|y|≤1.

本题考查二重积分的几何意义，解题思路是根据二重积分的几何意义，判断被积函数在积分区域上的正负性，进而判断二重积分的正负。

选项A

对于$\iint\limits_{D}\ln(x^{2}+y^{2})dxdy$，其中积分区域$D:|x| + |y| \leq 1$。
在区域$D$内，$0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1$（当$(x,y)=(0,0)$时，$x^{2}+y^{2}=0$；当$(x,y)$在区域$D$边界上时，$x^{2}+y^{2}$取得最大值$1$）。
根据对数函数性质，$y = \ln t$在$t\in(0,1]$时，$\ln t\leq0$，且仅当$t = 1$时取等号，在区域$D$内除边界点外$\ln(x^{2}+y^{2})<0$。
由二重积分的几何意义可知，$\iint\limits_{D}\ln(x^{2}+y^{2})dxdy<0$，所以选项A错误。

选项B

对于$\iint\limits_{D}(-x^{2}-y^{2})dxdy$，其中积分区域$D:x^{2}+y^{2}\leq 1$。
在区域$D$内，$x^{2}+y^{2}\geq0$，则$-x^{2}-y^{2}\leq0$，且仅当$(x,y)=(0,0)$时取等号。
由二重积分的几何意义可知，$\iint\limits_{D}(-x^{2}-y^{2})dxdy<0$，所以选项B错误。

选项C

对于$\iint\limits_{D}(x - 1)dxdy$，其中积分区域$D:|x|\leq 1,|y|\leq 1$。
在区域$D$内，$-1\leq x\leq 1$，则$x - 1\leq0$，且仅当$x = 1$时取等号。
由二重积分的几何意义可知，$\iint\limits_{D}(x - 1)dxdy<0$，所以选项C错误。

选项D

对于$\iint\limits_{D}(x + 1)dxdy$，其中积分区域$D:|x|\leq 1,|y|\leq 1$。
在区域$D$内，$-1\leq x\leq 1$，则$x + 1\geq0$，且仅当$x = -1$时取等号。
由二重积分的几何意义可知，$\iint\limits_{D}(x + 1)dxdy>0$，所以选项D正确。