题目

1.已知f(x)满足2f(x)+f(1-x)=x²，则f(x)=____.

题目解答

答案

将 $x$ 替换为 $1-x$，得
$2f(1-x) + f(x) = (1-x)^2.$
与原方程 $2f(x) + f(1-x) = x^2$ 联立，消去 $f(1-x)$：
$2(2f(x) + f(1-x)) - (2f(1-x) + f(x)) = 2x^2 - (1-x)^2,$
化简得
$3f(x) = x^2 + 2x - 1,$
解得
$f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{3}.$
答案：
$\boxed{\frac{x^2 + 2x - 1}{3}}$（或$\boxed{\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}}$）

解析

本题考查函数解析式的求解，解题思路是通过换元法得到关于$f(x)$与$f(1 - x)$的另一个方程，然后联立方程组消去$f(1 - x)$，进而求出$f(x)$的表达式。

已知$2f(x)+f(1 - x)=x^{2}$ ①。
- 为了得到另一个关于$f(x)$与$f(1 - x)$的方程，我们将$x$替换为$1 - x$，则原方程变为$2f(1 - x)+f(x)=(1 - x)^{2}$ ②。
接下来消去$f(1 - x)$：
- 给①式两边同时乘以$2$，根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，可得$2\times(2f(x)+f(1 - x)) = 2x^{2}$，即$4f(x)+2f(1 - x)=2x^{2}$ ③。
- 用③式减去②式，即$(4f(x)+2f(1 - x))-(2f(1 - x)+f(x))=2x^{2}-(1 - x)^{2}$。
- 去括号：根据去括号法则$a-(b + c)=a - b - c$，可得$4f(x)+2f(1 - x)-2f(1 - x)-f(x)=2x^{2}-(1 - 2x+x^{2})$。
- 合并同类项：$(4f(x)-f(x))+(2f(1 - x)-2f(1 - x))=2x^{2}-1 + 2x - x^{2}$，即$3f(x)=x^{2}+2x - 1$。
最后求解$f(x)$：
- 方程$3f(x)=x^{2}+2x - 1$两边同时除以$3$，可得$f(x)=\frac{x^{2}+2x - 1}{3}$，也可写成$f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$。