设L是以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆周,则弧长积分int_(L) |y| , ds=A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查第一类曲线积分（弧长积分）的计算，解题思路是先写出单位圆周的参数方程，再根据弧长积分的计算公式将曲线积分转化为定积分进行计算。

步骤一：写出单位圆周的参数方程

单位圆周$L$的参数方程为$\begin{cases}x = \cos t\\y = \sin t\end{cases}$，其中$t\in[0,2\pi]$。

步骤二：计算弧长元素$ds$

根据弧长元素公式$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，对$x = \cos t$和$y = \sin t$分别求导：
$\frac{dx}{dt}=-\sin t$，$\frac{dy}{dt}=\cos t$
将其代入弧长元素公式可得：
$ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2}dt=\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}dt$
根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，则$ds = dt$。

步骤三：将曲线积分转化为定积分

已知$\vert y\vert=\vert\sin t\vert$，根据弧长积分公式$\int_{L} f(x,y)ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t),y(t))\cdot\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，可得：
$\int_{L} \vert y\vert ds = \int_{0}^{2\pi} \vert\sin t\vert dt$

步骤四：计算定积分

因为$\sin t$在$[0,\pi]$上大于等于$0$，在$[\pi,2\pi]$上小于等于$0$，所以将定积分拆分为两个部分：
$\int_{0}^{2\pi} \vert\sin t\vert dt = \int_{0}^{\pi} \sin t dt + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin t) dt$
分别计算这两个定积分：

• 计算$\int_{0}^{\pi} \sin t dt$：
  根据积分公式$\int \sin t dt = -\cos t + C$，可得：
  $\int_{0}^{\pi} \sin t dt = -\cos t\big|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi - \cos0)=-(-1 - 1)= 2$
• 计算$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin t) dt$：
  $\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin t) dt = \cos t\big|_{\pi}^{2\pi}=\cos2\pi - \cos\pi=1 - (-1)= 2$

将两个定积分的结果相加可得：
$\int_{0}^{2\pi} \vert\sin t\vert dt = 2 + 2 = 4$