9.判断题范数为零的矩阵一定是零矩阵。A. 对B. 错

本题考查矩阵范数的基本性质。解题思路是依据矩阵范数的定义和性质来判断范数为零的矩阵是否一定是零矩阵。

矩阵范数是一种对矩阵“大小”的度量，常见的矩阵范数有多种定义，例如对于矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，其 Frobenius 范数定义为 $\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|^2}$ 。

设矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，若 $\|A\| = 0$ 。以 Frobenius 范数为例，根据其定义有 $\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|^2}=0$ 。
因为一个非负实数的平方根为零，当且仅当这个非负实数为零，所以 $\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|^2 = 0$ 。
又因为对于任意实数 $x$，$x^2\geq0$，要使 $\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|^2 = 0$ 成立，必须有 $|a_{ij}| = 0$ 对所有的 $i = 1,2,\cdots,m$ 和 $j = 1,2,\cdots,n$ 都成立。
而 $|a_{ij}| = 0$ 意味着 $a_{ij}=0$ ，这就说明矩阵 $A$ 的所有元素都为零，即 $A$ 是零矩阵。
对于其他类型的矩阵范数，也具有类似的性质，即范数为零的矩阵一定是零矩阵。