4.设f(x),g(x)在x=0的某个邻域内连续,且lim_(xto0)(g(x))/(x)=-1,lim_(xto0)(f(x))/(g^2)(x)=2,则在点x=0处f(x)( )A. 不可导.B. 可导且f'(0)≠0.C. 取得极小值.D. 取得极大值.

本题主要考查函数在某点的可导性、极值的判定，解题的关键在于根据已知极限条件分析函数在$x = 0$处的性质。

1. 分析$g(x)$在$x = 0$处的情况：
   已知$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=-1$，根据极限的运算法则，若$\lim_{x\to x_0}\frac{A(x)}{B(x)}$存在且$\lim_{x\to x_0}B(x)=0$，则$\lim_{x\to x_0}A(x)=0$。
   因为$\lim_{x\to0}x = 0$，且$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=-1$存在，所以$\lim_{x\to0}g(x)=0$。
   又因为$g(x)$在$x = 0$的某个邻域内连续，根据函数连续的定义$\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$，可得$g(0)=0$。
2. 分析$f(x)$在$x = 0$处的情况：
   已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g^{2}(x)}=2$，同理，由于$\lim_{x\to0}g^{2}(x)=g^{2}(0)=0$，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g^{2}(x)}=2$存在，所以$\lim_{x\to0}f(x)=0$。
   又因为$f(x)$在$x = 0$的某个邻域内连续，所以$f(0)=0$。
3. 判断$f(x)$在$x = 0$处的可导性：
   根据导数的定义$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$。
   由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g^{2}(x)}=2$和$\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=-1$，可得$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g^{2}(x)}\cdot\frac{g^{2}(x)}{x}=2\times\lim_{x\to0}\frac{g^{2}(x)}{x}=2\times\lim_{x\to0}\left(\frac{g(x)}{x}\right)^2\cdot x=2\times(-1)^2\times0 = 0$，即$f^\prime(0)=0$，所以选项A、B错误。
4. 判断$f(x)$在$x = 0$处是否取得极值：
   因为$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g^{2}(x)}=2\gt0$，根据极限的保号性，存在$\delta\gt0$，当$x\in(-\delta,\delta)$且$x\neq0$时，$\frac{f(x)}{g^{2}(x)}\gt0$。
   又因为$g^{2}(x)\gt0$（$x\neq0$），所以$f(x)\gt0$，而$f(0)=0$，即存在$x = 0$的一个邻域，使得在该邻域内除$x = 0$外的任意$x$都有$f(x)\gt f(0)$，根据极小值的定义可知$f(x)$在$x = 0$处取得极小值，选项C正确，选项D错误。