积分上限函数 Phi(x)=int_(a)^e^(x) (ln t)/(t) dt，则 Phi'(x) 的值为（ ）。A. -xB. xC. (x)/(e^x)D. -(x)/(e^x)

本题考查积分上限函数的求导知识。解题思路是利用积分上限函数的求导公式，若$\varPhi(x)=\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt$，则$\varPhi^\prime(x)=f(\varphi(x))\cdot\varphi^\prime(x)$。

下面我们来详细计算$\varPhi^\prime(x)$的值：

• 步骤一：确定$f(t)$、$\varphi(x)$。
  已知$\varPhi(x)=\int_{a}^{e^{x}}\frac{\ln t}{t}dt$，对比积分上限函数的一般形式$\varPhi(x)=\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt$，可得$f(t)=\frac{\ln t}{t}$，$\varphi(x)=e^{x}$。
• 步骤二：分别求出$f(\varphi(x))$和$\varphi^\prime(x)$。
  • 求$f(\varphi(x))$：
    将$\varphi(x)=e^{x}$代入$f(t)=\frac{\ln t}{t}$中，可得$f(\varphi(x)) = f(e^{x})=\frac{\ln e^{x}}{e^{x}}$。
    根据对数的性质$\ln e^{x}=x$，则$f(\varphi(x))=\frac{x}{e^{x}}$。
  • 求$\varphi^\prime(x)$：
    对$\varphi(x)=e^{x}$求导，根据指数函数求导公式$(e^{x})^\prime=e^{x}$，可得$\varphi^\prime(x)=(e^{x})^\prime=e^{x}$。
• 步骤三：根据积分上限函数求导公式计算$\varPhi^\prime(x)$。
  由$\varPhi^\prime(x)=f(\varphi(x))\cdot\varphi^\prime(x)$，将$f(\varphi(x))=\frac{x}{e^{x}}$，$\varphi^\prime(x)=e^{x}$代入可得：
  $\varPhi^\prime(x)=\frac{x}{e^{x}}\cdot e^{x}=x$