1、单选题（4分）某车间有同类设备80台，由3人共同负责维修。若每台设备发生故障的概率都是0.01，并且各台设备工作是相互独立的。那么有设备发生故障而不能及时维修的概率是（）A. 0.0091B. 0.9909C. 0.9825D. 0.0175

本题考查二项分布以及概率的计算。解题的关键思路是先确定设备发生故障的台数服从二项分布，然后找出有设备发生故障而不能及时维修的情况，即发生故障的设备台数大于维修人数，最后根据二项分布的概率公式计算相应概率。

步骤一：确定设备发生故障台数的分布

设$X$表示$80$台设备中发生故障的台数，已知每台设备发生故障的概率$p = 0.01$，且各台设备工作相互独立，设备总数$n = 80$，所以$X\sim B(80,0.01)$。

步骤二：分析有设备发生故障而不能及时维修的情况

因为有$3$人共同负责维修，所以当发生故障的设备台数$X\gt 3$时，就会出现有设备发生故障而不能及时维修的情况。那么有设备发生故障而不能及时维修的概率$P(X\gt 3)$。

根据概率的性质$P(X\gt 3)=1 - P(X\leqslant 3)=1 - [P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)]$。

步骤三：根据二项分布的概率公式计算$P(X = k)$

二项分布的概率公式为$P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。

• 当$k = 0$时：
  $P(X = 0)=C_{80}^{0}\times0.01^{0}\times(1 - 0.01)^{80 - 0}$
  $=1\times1\times0.99^{80}\approx0.4477$
• 当$k = 1$时：
  $P(X = 1)=C_{80}^{1}\times0.01^{1}\times(1 - 0.01)^{80 - 1}$
  $=\frac{80!}{1!(80 - 1)!}\times0.01\times0.99^{79}=80\times0.01\times0.99^{79}\approx0.3593$
• 当$k = 2$时：
  $P(X = 2)=C_{80}^{2}\times0.01^{2}\times(1 - 0.01)^{80 - 2}$
  $=\frac{80!}{2!(80 - 2)!}\times0.01^{2}\times0.99^{78}=\frac{80\times79}{2\times1}\times0.01^{2}\times0.99^{78}\approx0.1438$
• 当$k = 3$时：
  $P(X = 3)=C_{80}^{3}\times0.01^{3}\times(1 - 0.01)^{80 - 3}$
  $=\frac{80!}{3!(80 - 3)!}\times0.01^{3}\times0.99^{77}=\frac{80\times79\times78}{3\times2\times1}\times0.01^{3}\times0.99^{77}\approx0.0391$

步骤四：计算$P(X\gt 3)$

$P(X\gt 3)=1 - (0.4477 + 0.3593 + 0.1438 + 0.0391)$
$=1 - 0.9899\approx0.0091$