微分方程 (x^2-1)dy + (2xy - cos x)dx = 0 满足 y|_(x=0) = 1 的特解是(）.A. y = (sin x - 1)/(x^2 - 1)B. y = (cos x)/(1 + x^2)C. y = (sin x + 1)/(x^2 + 1)D. y = (cos x)/(1 - x^2)

本题考查一阶线性微分方程的求解，解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性微分方程的标准形式，然后利用一阶线性微分方程的通解公式求出通解，最后根据给定的初始条件确定特解。

步骤一：将原方程化为一阶线性微分方程的标准形式

已知微分方程$(x^2 - 1)dy + (2xy - \cos x)dx = 0$，将其变形为$\frac{dy}{dx}$的表达式：
$(x^2 - 1)dy = - (2xy - \cos x)dx$
两边同时除以$(x^2 - 1)dx$，得到$\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{x^2 - 1}y = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$。
此方程为一阶线性微分方程的标准形式$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$，其中$P(x)=\frac{2x}{x^2 - 1}$，$Q(x)=\frac{\cos x}{x^2 - 1}$。

步骤二：求一阶线性微分方程的通解

根据一阶线性微分方程的通解公式$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，先计算$e^{\int P(x)dx}$：
$\int P(x)dx = \int\frac{2x}{x^2 - 1}dx$
令$u = x^2 - 1$，则$du = 2xdx$，那么$\int\frac{2x}{x^2 - 1}dx = \int\frac{1}{u}du = \ln|u| = \ln|x^2 - 1|$。
所以$e^{\int P(x)dx} = e^{\ln|x^2 - 1|}=x^2 - 1$，$e^{-\int P(x)dx}=\frac{1}{x^2 - 1}$。
再计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：
$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx = \int\frac{\cos x}{x^2 - 1}\cdot(x^2 - 1)dx = \int\cos xdx = \sin x$。
将$e^{-\int P(x)dx}$和$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$代入通解公式，得到通解$y = \frac{1}{x^2 - 1}(\sin x + C)$。

步骤三：根据初始条件确定特解

已知$y|_{x = 0} = 1$，将$x = 0$，$y = 1$代入通解$y = \frac{1}{x^2 - 1}(\sin x + C)$中：
$1 = \frac{1}{0^2 - 1}(\sin 0 + C)$
$1 = \frac{1}{-1}(0 + C)$
解得$C = - 1$。
将$C = - 1$代入通解，得到特解$y = \frac{\sin x - 1}{x^2 - 1}$。