设u=f(z), z=g(xy, x^2+y^2), 其中f(z)可导, g(u, v)有连续偏导数, 则(partial u)/(partial x)= ()A. yg_1' + 2xg_2'B. f' cdot (2yg_1' + xg_2')C. 2yg_1' + xg_2'D. f' cdot (yg_1' + 2xg_2')

本题考查复合函数求偏导数的知识。解题的关键在于运用复合函数求导的链式法则，逐步分析函数之间的复合关系，从而求出$\frac{\partial u}{\partial x}$。

已知$u = f(z)$，$z = g(xy, x^2 + y^2)$，要求$\frac{\partial u}{\partial x}$，根据复合函数求导的链式法则$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{du}{dz}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$。

• 步骤一：求$\frac{du}{dz}$
  因为$u = f(z)$且$f(z)$可导，所以$\frac{du}{dz}=f^\prime(z)$，这里为了书写方便，简记为$f^\prime$。

• 步骤二：求$\frac{\partial z}{\partial x}$
  令$z = g(u, v)$，其中$u = xy$，$v = x^2 + y^2$。
  根据复合函数求偏导的链式法则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$。

  • 求$\frac{\partial u}{\partial x}$：
    因为$u = xy$，对$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=y$。
  • 求$\frac{\partial v}{\partial x}$：
    因为$v = x^2 + y^2$，对$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial v}{\partial x}=2x$。
  • 已知$g(u, v)$有连续偏导数，$\frac{\partial g}{\partial u}$记为$g_1^\prime$，$\frac{\partial g}{\partial v}$记为$g_2^\prime$。
    将$\frac{\partial u}{\partial x}=y$，$\frac{\partial v}{\partial x}=2x$代入$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$，可得$\frac{\partial z}{\partial x}=g_1^\prime\cdot y + g_2^\prime\cdot 2x=yg_1^\prime + 2xg_2^\prime$。

• 步骤三：求$\frac{\partial u}{\partial x}$
  将$\frac{du}{dz}=f^\prime$和$\frac{\partial z}{\partial x}=yg_1^\prime + 2xg_2^\prime$代入$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{du}{dz}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=f^\prime\cdot(yg_1^\prime + 2xg_2^\prime)$。