题目
一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的。一只仓鼠从开着的洞口爬入笼子，它只能从开着的洞口爬出笼子。（1）假设这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，用X表示它爬向洞口的次数，求X的分布律；（2）假设这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，用Y表示它爬向洞口的次数，求Y的分布律；（3）求Y的分布函数.
一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的。一只仓鼠从开着的洞口爬入笼子，它只能从开着的洞口爬出笼子。（1）假设这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，用X表示它爬向洞口的次数，求X的分布律；（2）假设这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，用Y表示它爬向洞口的次数，求Y的分布律；（3）求Y的分布函数.
题目解答
答案
（1）一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的，这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，则爬出洞口的概率为
，X表示它爬向洞口的次数，则X服从参数为
的几何分布，则X的分布律为
；
（2）这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，Y表示它爬向洞口的次数，则Y的分布律为
，
，
，即
；
（3）随机变量分布函数的定义为
，则Y的分布函数为
，
，
，
，
，即
.
解析
步骤 1：确定X的分布律
一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的，这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，则爬出洞口的概率为$\dfrac {1}{4}$，X表示它爬向洞口的次数，则X服从参数为$p=\dfrac {1}{4}$的几何分布，则X的分布律为$P(X=k)={(1-p)}^{k-1}p{|}_{p}=\dfrac {1}{4}$$={(\dfrac {3}{4})}^{k-1}(\dfrac {1}{4})$ k=1 ,2,3,···；
步骤 2：确定Y的分布律
这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，Y表示它爬向洞口的次数，则Y的分布律为$P(Y=1)=\dfrac {1}{4}$ $P(Y=2)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{4}$，$P(X=3)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {2}{3}\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{4}$，$P(X=4)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {2}{3}\times \dfrac {1}{2}\times 1=\dfrac {1}{4}$，即Y 1 2 3 4 P 1/4 1/4 1/4 1/4；
步骤 3：确定Y的分布函数
随机变量分布函数的定义为$F(y)=P(Y\leqslant y)$，则Y的分布函数为$F(y)=P(Y\leqslant y)=0,(y\lt 1)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)=\dfrac {1}{4},(1$ $(1\leqslant y\lt 2)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$$=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{2},(2\leqslant y\lt 3)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$$P(X=3)=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{4},(3\leqslant y\lt 4)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$+P(X=3)+P(X=4)$=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=1,(y\geqslant 4)$，即F(y)= $\left \{ \begin{matrix} 0,y\leqslant 1,\\ 3,2\leqslant y\leqslant 3\\ 5,3\leqslant y\leqslant 3\\ 1,y\geqslant 4\end{matrix} \right.$.
一只笼子有4个同样大小的洞口，其中只有一个洞口的门是打开的，这只仓鼠是一只笨仓鼠（无记忆）它爬向4个洞口是随机的，则爬出洞口的概率为$\dfrac {1}{4}$，X表示它爬向洞口的次数，则X服从参数为$p=\dfrac {1}{4}$的几何分布，则X的分布律为$P(X=k)={(1-p)}^{k-1}p{|}_{p}=\dfrac {1}{4}$$={(\dfrac {3}{4})}^{k-1}(\dfrac {1}{4})$ k=1 ,2,3,···；
步骤 2：确定Y的分布律
这只仓鼠是一只聪明的仓鼠（有记忆），它爬向任一个洞口的次数不多于一次，Y表示它爬向洞口的次数，则Y的分布律为$P(Y=1)=\dfrac {1}{4}$ $P(Y=2)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{4}$，$P(X=3)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {2}{3}\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{4}$，$P(X=4)=\dfrac {3}{4}\times \dfrac {2}{3}\times \dfrac {1}{2}\times 1=\dfrac {1}{4}$，即Y 1 2 3 4 P 1/4 1/4 1/4 1/4；
步骤 3：确定Y的分布函数
随机变量分布函数的定义为$F(y)=P(Y\leqslant y)$，则Y的分布函数为$F(y)=P(Y\leqslant y)=0,(y\lt 1)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)=\dfrac {1}{4},(1$ $(1\leqslant y\lt 2)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$$=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{2},(2\leqslant y\lt 3)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$$P(X=3)=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=\dfrac {3}{4},(3\leqslant y\lt 4)$，$F(y)=P(Y\leqslant y)=P(Y=1)+P(Y=2)$+P(X=3)+P(X=4)$=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}=1,(y\geqslant 4)$，即F(y)= $\left \{ \begin{matrix} 0,y\leqslant 1,\\ 3,2\leqslant y\leqslant 3\\ 5,3\leqslant y\leqslant 3\\ 1,y\geqslant 4\end{matrix} \right.$.