题目
单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 3. (2.0分) (arccscx)^prime=() A. (cschx)^prime B. (1)/(( |x|(x^2)-1)^(1/2)) C. -(1)/(( |x|(x^2)-1)^(1/2)) D. (scx)^prime
单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 3. (2.0分) $(\arccscx)^{\prime}=$()
A. $(cschx)^{\prime}$
B. $\frac{1}{( |x|(x^{2}-1)^{1/2})}$
C. $-\frac{1}{( |x|(x^{2}-1)^{1/2})}$
D. $(scx)^{\prime}$
A. $(cschx)^{\prime}$
B. $\frac{1}{( |x|(x^{2}-1)^{1/2})}$
C. $-\frac{1}{( |x|(x^{2}-1)^{1/2})}$
D. $(scx)^{\prime}$
题目解答
答案
设 $u = \frac{1}{x}$，则 $\arccsc x = \arcsin u$。利用链式法则：
\[
(\arccsc x)' = (\arcsin u)' \cdot u' = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)
\]
代入 $u = \frac{1}{x}$：
\[
(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}
\]
因此：
\[
(\arccsc x)' = -\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{1}{|x| (x^2 - 1)^{1/2}}
\]
答案：$\boxed{C}$
解析
本题考查反余割函数的求导知识，解题思路是通过换元法将反余割函数转化为反正弦函数，再利用链式法则进行求导。
- 首先进行换元：
- 设$u = \frac{1}{x}$，那么$\arccsc x=\arcsin u$。
- 然后根据链式法则求导：
- 链式法则公式为$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，对于$\arccsc x=\arcsin u$，$(\arccsc x)^\prime = (\arcsin u)^\prime\cdot u^\prime$。
- 我们知道$(\arcsin u)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$，对$u = \frac{1}{x}=x^{-1}$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime=(x^{-1})^\prime=-1\times x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$。
- 所以$(\arccsc x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$。
- 接着将$u = \frac{1}{x}$代回：
- 把$u = \frac{1}{x}$代入$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$中，得到$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}$。
- 对$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}$进行化简，$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}}}}=\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}-1}}$（因为$\sqrt{x^{2}} = |x|$）。
- 最后得出$(\arccsc x)^\prime$的结果：
- 把$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}=\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}-1}}$和$u^\prime=-\frac{1}{x^{2}}$代入$(\arccsc x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$中，可得$(\arccsc x)^\prime=-\frac{|x|}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}$。
- 进一步化简$-\frac{|x|}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}$，$-\frac{|x|}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}=-\frac{1}{|x|(x^{2}-1)^{\frac{1}{2}}}$。