对于线性方程组 λx1+x2+x3=λ-3 x1+λx2+x3=-2 x1+x2+x3=-2 ，讨论λ取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．

步骤 1：对增广矩阵进行初等行变换
对方程组的增广矩阵做初等行变换，化成行阶梯形矩阵：
.
A
=
λ
1
1
λ-3
1
λ
1
-2
1
1
λ
-2
r1↔r3，r2-r1，r3-λr1

1
1
λ
-2
0
λ-1
1-λ
0
0
1-λ
1-λ2
3(λ-1)
r3+r2

1
1
λ
-2
0
λ-1
1-λ
0
0
0
-(λ+2)(λ-1)
3(λ-1)
步骤 2：讨论λ的取值
①当λ≠-2且λ≠1时，由于 r(A)=r(
.
A
)=3．此时，方程组有唯一解．
②当λ=-2时，由于 r(A)=2＜3=r(
.
A
)．此时，方程组无解．
③当λ=1时，由于 r(A)=r(
.
A
)=1＜3．此时，方程组有无穷多解，并且此时：
.
A
=
1
1
1
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
，
取x _2和x _3为为它的自由变量，则：
x _1=-2-x _2-x _3
令：x _2=x _3=0，解得方程组的一特
η*=
-2
0
0
，
又与原方程组的导出组同解的方程组为：
x _1=-x _2-x _3
令
x2
x3
=
1
0
和
0
1
解得导出组的基础解系 η1=
-1
1
0
，η2=
-1
0
1
步骤 3：写出方程组的通解
∴此时，方程组的通解为
X=c1η1+c2η2+η*= c1
-1
1
0
+c2
-1
0
1
+
-2
0
0
，其中c _1，c _2为任意常数．