题目

1 求曲线x^3-xy+y^3=1(xgeqslant 0,ygeqslant 0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

1 求曲线$x^{3}-xy+y^{3}=1(x\geqslant 0,y\geqslant 0)$上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

题目解答

答案

设目标函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$，约束条件 $g(x, y) = x^3 - xy + y^3 - 1 = 0$。
构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(1 - x^3 + xy - y^3)$，求偏导数并设为零：
$\begin{cases}2x + \lambda(-3x^2 + y) = 0 \\2y + \lambda(x - 3y^2) = 0 \\x^3 - xy + y^3 = 1\end{cases}$
解得 $\lambda \neq 0$，且 $x = y$ 时满足方程，代入约束得 $x = y = 1$，距离为 $\sqrt{2}$。
考虑边界情况：

  • $x = 0$ 时，$y = 1$，距离为 $1$；
  • $y = 0$ 时，$x = 1$，距离为 $1$。

结论：
最长距离为 $\sqrt{2}$，最短距离为 $1$。

$\boxed{\sqrt{2}, 1}$

解析

本题考查利用拉格朗日乘数法求条件极值，进而求解曲线上的点到原点的最长距离与最短距离。解题思路如下：

  1. 首先明确目标函数和约束条件：
    • 点$(x,y)$到坐标原点的距离的平方为$d^{2}=x^{2}+y^{2}$，为了方便计算，设目标函数$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$。
    • 已知曲线方程$x^{3}-xy + y^{3}=1$，则约束条件为$g(x,y)=x^{3}-xy + y^{3}-1 = 0$，且$x\geqslant0,y\geqslant0$。
  2. 构造拉格朗日函数：
    • 构造拉格朗日函数$L(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}+\lambda(1 - x^{3}+xy - y^{3})$。
  3. 求偏导数并令其为零：
    • 对$L(x,y,\lambda)$分别求关于$x$、$y$、$\lambda$的偏导数：
      • $\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda(-3x^{2}+y)=0$ ①；
      • $\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda(x - 3y^{2})=0$ ②；
      • $\frac{\partial L}{\partial\lambda}=1 - x^{3}+xy - y^{3}=0$，即$x^{3}-xy + y^{3}=1$ ③。
    • 由①得$\lambda=\frac{2x}{3x^{2}-y}$（$y\neq3x^{2}$），由②得$\lambda=\frac{2y}{3y^{2}-x}$（$x\neq3y^{2}$）。
    • 则$\frac{2x}{3x^{2}-y}=\frac{2y}{3y^{2}-x}$，交叉相乘可得$2x(3y^{2}-x)=2y(3x^{2}-y)$。
    • 展开式子得$6xy^{2}-2x^{2}=6x^{2}y - 2y^{2}$，移项得$6xy^{2}-6x^{2}y-2x^{2}+2y^{2}=0$，因式分解得$6xy(y - x)-2(x^{2}-y^{2})=0$，再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$进一步化简为$6xy(y - x)-2(x + y)(x - y)=0$，即$(y - x)(6xy + 2x + 2y)=0$。
    • 因为$x\geqslant0,y\geqslant0$，$6xy + 2x + 2y\gt0$，所以$y - x = 0$，即$x = y$。
  4. 将$x = y$代入约束条件：
    • 把$x = y$代入③式$x^{3}-xy + y^{3}=1$，得到$x^{3}-x\cdot x+x^{3}=1$，即$2x^{3}-x^{2}-1 = 0$。
    • 令$h(x)=2x^{3}-x^{2}-1$，对$h(x)$求导$h^\prime(x)=6x^{2}-2x=2x(3x - 1)$。
    • 令$h^\prime(x)=0$，解得$x = 0$或$x=\frac{1}{3}$。
    • 当$x = 0$时，$h(0)=-1\lt0$；当$x=\frac{1}{3}$时，$h(\frac{1}{3})=2\times(\frac{1}{3})^{3}-(\frac{1}{3})^{2}-1=\frac{2}{27}-\frac{1}{9}-1=\frac{2 - 3 - 27}{27}=-\frac{28}{27}\lt0$；当$x = 1$时，$h(1)=2\times1^{3}-1^{2}-1=0$，所以$x = 1$，则$y = 1$。
    • 此时点$(1,1)$到原点的距离$d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
  5. 考虑边界情况：
    • 当$x = 0$时，代入约束条件$x^{3}-xy + y^{3}=1$，得$y^{3}=1$，解得$y = 1$，此时点$(0,1)$到原点的距离$d=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1$。
    • 当$y = 0$时，代入约束条件$x^{3}-xy + y^{3}=1$，得$x^{3}=1$，解得$x = 1$，此时点$(1,0)$到原点的距离$d=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1$。