题目
n个m维向量的向量组,若n>m,则该向量组线性()。A 无关B 无法判断C 相关D 以上都不对
$n$个$m$维向量的向量组,若$n>m$,则该向量组线性()。
A 无关
B 无法判断
C 相关
D 以上都不对
题目解答
答案
对于 $n$ 个 $m$ 维向量的向量组，当 $n > m$ 时，可将向量组表示为 $m \times n$ 矩阵。该矩阵的秩 $r$ 满足 $r \leq \min(m, n) = m$。由于 $m < n$，秩 $r$ 必然小于向量个数 $n$，根据线性相关性的定义，向量组线性相关。
答案：C 相关
$\boxed{\text{C}}$
解析
本题考查向量组线性相关性的判定，解题思路是通过将向量组转化为矩阵，利用矩阵的秩与向量组线性相关性的关系来进行判断。
- 设这$n$个$m$维向量构成的向量组为$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，将它们按列排成一个$m\times n$矩阵$A = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$。
- 根据矩阵秩的性质，矩阵$A$的秩$r(A)$满足$r(A)\leq\min(m,n)$。因为已知$n > m$，所以$\min(m,n)=m$，即$r(A)\leq m$。
- 又因为$m < n$，所以$r(A)<n$。
- 根据向量组线性相关性的判定定理：对于向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，若向量组构成的矩阵$A = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$的秩$r(A)$小于向量的个数$n$，则向量组线性相关。所以当$r(A)<n$时，该向量组线性相关。