5.设 f(x)= ), x(1+x),-1lt xleqslant 0 .-|||-x/0.0≤1/0,求f(x)的间断点,并说明间断点所属-|||-类型.

本题考查分段函数间断点的求解以及间断点类型的判断。解题思路是先找出函数可能的间断点，再分别计算这些间断点处的左、右极限，根据左、右极限的情况判断间断点的类型。

1. 找出可能的间断点

对于分段函数$f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x - 1}}, & x\gt 0,x\neq 1\\\ln(1 + x), & -1\lt x\leqslant 0\end{cases}$，函数在$x = 0$和$x = 1$处分段，且在$x = 1$处函数无定义，所以$x = 0$和$x = 1$是可能的间断点。

2. 判断$x = 0$处的间断点类型

• 计算左极限：
  当$x\to 0^{-}$时，$f(x)=\ln(1 + x)$，根据对数函数的连续性，可得：
  $\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\ln(1 + x)$
  令$t = 1 + x$，当$x\to 0^{-}$时，$t\to 1^{-}$，则$\lim\limits_{x\to 0^{-}}\ln(1 + x)=\lim\limits_{t\to 1^{-}}\ln t=\ln 1 = 0$。
• 计算右极限：
  当$x\to 0^{+}$时，$f(x)=e^{\frac{1}{x - 1}}$，根据指数函数的连续性，可得：
  $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}e^{\frac{1}{x - 1}}$
  因为$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x - 1}=\frac{1}{0 - 1}=-1$，所以$\lim\limits_{x\to 0^{+}}e^{\frac{1}{x - 1}}=e^{-1}$。
• 判断间断点类型：
  由于$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=0$，$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=e^{-1}$，左右极限都存在但不相等，所以$x = 0$是函数$f(x)$的第一类间断点，为跳跃间断点。

3. 判断$x = 1$处的间断点类型

• 计算左极限：
  当$x\to 1^{-}$时，$f(x)=e^{\frac{1}{x - 1}}$，此时$x - 1\to 0^{-}$，则$\frac{1}{x - 1}\to -\infty$，根据指数函数的性质，可得：
  $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}e^{\frac{1}{x - 1}}=0$
• 计算右极限：
  当$x\to 1^{+}$时，$f(x)=e^{\frac{1}{x - 1}}$，此时$x - 1\to 0^{+}$，则$\frac{1}{x - 1}\to +\infty$，根据指数函数的性质，可得：
  $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}e^{\frac{1}{x - 1}}=+\infty$
• 判断间断点类型：
  由于$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$，即右极限为无穷大，所以$x = 1$是函数$f(x)$的第二类间断点，为无穷间断点。