设平面图形D由抛物线y=1-x2及其在点(1,0)处的切线以及y轴所围成,试求: (1)平面图形D的面积; (2)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.正确答案:

考查要点：本题主要考查平面图形的面积计算及旋转体体积的求解方法，涉及导数求切线方程、积分法的应用。

解题思路：

1. 确定图形边界：通过求抛物线在点$(1,0)$处的切线方程，结合抛物线和y轴，明确图形D的范围。
2. 面积计算：选择y为积分变量，将图形分为两部分：由切线和抛物线围成的区域（$0 \leq y \leq 1$），以及由切线和y轴围成的区域（$1 \leq y \leq 2$），分别积分后相减。
3. 体积计算：使用壳层法，以$x$为积分变量，计算绕$y$轴旋转的体积，注意高度函数的构造。

关键点：

• 切线方程的正确推导；
• 积分变量选择简化计算；
• 分段积分处理复杂图形。

第（1）题：平面图形D的面积

步骤1：求抛物线在点$(1,0)$处的切线方程

抛物线$y=1-x^2$的导数为$y'=-2x$，在$x=1$处的斜率为$k=-2$。
切线方程为：
$y - 0 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 2.$

步骤2：确定积分区域

图形D由抛物线、切线和y轴围成。以$y$为积分变量：

• 切线方程解为$x = \dfrac{2 - y}{2}$；
• 抛物线方程解为$x = \sqrt{1 - y}$（$x \geq 0$）。

步骤3：分段计算面积

1. 切线与y轴围成的面积（$0 \leq y \leq 2$）：
   $\int_{0}^{2} \dfrac{2 - y}{2} \, dy = \left[ y - \dfrac{y^2}{4} \right]_{0}^{2} = 2 - 1 = 1.$
2. 抛物线与y轴围成的面积（$0 \leq y \leq 1$）：
   $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - y} \, dy = \left[ -\dfrac{2}{3}(1 - y)^{3/2} \right]_{0}^{1} = \dfrac{2}{3}.$

步骤4：求总面积

$S = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.$

第（2）题：绕y轴旋转的体积

步骤1：使用壳层法

体积元素为$2\pi x \cdot [(-2x + 2) - (1 - x^2)] \, dx$，积分区间$x \in [0, 1]$：
$V = \int_{0}^{1} 2\pi x \cdot (x^2 - 2x + 1) \, dx.$

步骤2：展开并积分

$\begin{aligned}V &= 2\pi \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \\&= 2\pi \left[ \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{2x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \\&= 2\pi \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} \right) \\&= 2\pi \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{\pi}{6}.\end{aligned}$